Drzewko prawdopodobieństwa - kalkulator z krokami

Drzewko prawdopodobieństwa to schemat doświadczenia wieloetapowego: każdy poziom to jeden etap, gałęzie wychodzące z węzła to możliwe wyniki tego etapu, a na gałęziach zapisuje się ich prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo jednej drogi to iloczyn liczb wzdłuż niej, a prawdopodobieństwo zdarzenia - suma dróg, które mu sprzyjają.

Drzewko - trzy wzory

Reguła iloczynu (jedna droga od korzenia do liścia):

P(\text{droga}) = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_k

Prawdopodobieństwo całkowite (suma dróg sprzyjających, B₁, …, Bₙ - wyniki pierwszego etapu):

P(A) = P(A \mid B_1) \cdot P(B_1) + \ldots + P(A \mid B_n) \cdot P(B_n)

Wzór Bayesa (jedna gałąź przez wszystkie, gdy wiadomo, że A zaszło):

P(B_k \mid A) = \frac{P(A \mid B_k) \cdot P(B_k)}{P(A)}

Kalkulator poniżej liczy wszystko w ułamkach dokładnych - bez zaokrągleń w trakcie rachunku - i pokazuje każdy krok tak, jak zapisuje się go w zeszycie. Teoria z przykładami jest w lekcjach Drzewka - doświadczenia wieloetapowe oraz Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa.

Kalkulator drzewka prawdopodobieństwa

W urnie są 3 kule białe (b) i 2 czarne (c). Losujemy dwie bez zwracania. A - obie tego samego koloru. Przykład z: lekcja „Doświadczenia wieloetapowe”.

Co liczymy prawdopodobieństwo całkowite wzór Bayesa dla gałęzi

Rysunek odświeża się w trakcie wpisywania. Na gałęziach - prawdopodobieństwa, przy liściach - iloczyny wzdłuż dróg; ✓ oznacza liść sprzyjający zdarzeniu (kliknięcie liścia też go zaznacza).

Jak wpisywać dane

Prawdopodobieństwo: ułamek zwykły 2/5, dziesiętny 0,4 (przecinek albo kropka) lub procent 40%. Ułamek nieskrócony (2/4) zostaje w krokach taki, jak go wpisano.
„Rozgałęź” dodaje kolejny etap za liściem (najwyżej trzy etapy). Gałęzie mogą mieć różną długość - jak w meczu do dwóch wygranych.
Nowa gałąź dostaje od razu brakującą część prawdopodobieństwa, więc suma z węzła zostaje równa 1.
Pola obsługuje się klawiaturą: Tab przechodzi dalej, Spacja zaznacza liść.

Etap 1: gałęzie z początku drzewka

Etap 2: gałęzie za węzłem „b”
- sprzyja A
- sprzyja A
Etap 2: gałęzie za węzłem „c”
- sprzyja A
- sprzyja A

Prawdopodobieństwo całkowite

P(A) = 2/5 = 0,4 = 40%

Drogi sprzyjające zdarzeniu A. Zaznaczone liście: „b, b”, „c, c” - 2 z 4 dróg.
Reguła iloczynu - mnożymy wzdłuż każdej drogi. P(b, b) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10 P(c, c) = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10
Reguła sumy - dodajemy drogi sprzyjające. P(A) = 3/10 + 1/10 = 4/10 = 2/5
To samo wzorem na prawdopodobieństwo całkowite. P(A) = P(A | b) · P(b) + P(A | c) · P(c) = 2/4 · 3/5 + 1/4 · 2/5 = 2/5
Kontrola. Wszystkie liście razem: 3/10 + 3/10 + 3/10 + 1/10 = 1.

Jak narysować drzewko prawdopodobieństwa

Poziomy = etapy doświadczenia, w kolejności, w jakiej zachodzą (rzut monetą, potem losowanie z urny).
Gałęzie z węzła = możliwe wyniki etapu. Na gałęzi zapisz prawdopodobieństwo przy tym, co zdarzyło się wcześniej - po losowaniu bez zwracania urna ma o jedną kulę mniej.
Sprawdź sumy: gałęzie z każdego węzła dają razem 1.
Zaznacz liście sprzyjające zdarzeniu, policz iloczyny wzdłuż ich dróg i dodaj je.

Wszystkie cztery kroki wykonuje kalkulator: punkt 3 to komunikat o sumie przy każdym węźle, punkt 4 - kroki „reguła iloczynu” i „reguła sumy” w wyniku.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo całkowite z drzewka

Prawdopodobieństwo całkowite to po prostu suma dróg sprzyjających, zapisana symbolami. Gdy pierwszy etap ma wyniki B₁, …, Bₙ (urny, maszyny, chory - zdrowy), to droga przez Bᵢ do A ma prawdopodobieństwo P(A | Bᵢ) · P(Bᵢ), a P(A) jest sumą takich iloczynów. W przykładzie trzech maszyn: P(B) = 0,02 · 0,5 + 0,03 · 0,3 + 0,05 · 0,2 = 0,010 + 0,009 + 0,010 = 0,029.

Wzór Bayesa - przykład krok po kroku

Wzór Bayesa odwraca pytanie: wiemy, że A zaszło - z którego przypadku przyszło? Na drzewku to jedna gałąź podzielona przez sumę wszystkich gałęzi sprzyjających. Test na chorobę, która dotyczy 1% osób, wykrywa ją u 99% chorych, ale daje też wynik dodatni u 5% zdrowych:

droga „chory, wynik dodatni”: 0,01 · 0,99 = 0,0099;
droga „zdrowy, wynik dodatni”: 0,99 · 0,05 = 0,0495;
prawdopodobieństwo całkowite wyniku dodatniego: 0,0099 + 0,0495 = 0,0594;
wzór Bayesa: P(chory | dodatni) = 0,0099 : 0,0594 = 1/6 ≈ 16,7%.

Mimo „99-procentowego” testu tylko co szósta osoba z wynikiem dodatnim jest chora. Ten przykład jest w kalkulatorze jako test na rzadką chorobę, a jego pełne omówienie - w haśle twierdzenie Bayesa.

Przykłady wbudowane w kalkulator

Każdy wiersz otwiera kalkulator z gotowym drzewkiem. Wyniki zgadzają się z liczbami w lekcjach.

Przykład	Prawdopodobieństwo całkowite	Wzór Bayesa
Dwie kule bez zwracania - ten sam kolor	P(A) = 2/5 = 0,4 = 40%	-
Moneta wybiera urnę	P(B) = 3/5 = 0,6 = 60%	-
Przełożenie kuli	P(B) = 5/12 ≈ 0,417 ≈ 41,7%	-
Mecz do dwóch wygranych (trzy etapy)	P(A) = 0,648 = 64,8%	-
Trzy maszyny i wadliwe śruby	P(B) = 0,029 = 2,9%	P(M₃ \| B) = 10/29 ≈ 0,345 ≈ 34,5%
Kostka wybiera urnę	P(b) = 5/12 ≈ 0,417 ≈ 41,7%	P(U₁ \| b) = 3/5 = 0,6 = 60%
Filtr spamu	P(W) = 0,132 = 13,2%	P(S \| W) = 10/11 ≈ 0,909 ≈ 90,9%
Test na rzadką chorobę	P(D) = 0,0594 = 5,94%	P(C \| D) = 1/6 ≈ 0,167 ≈ 16,7%

Najczęstsze pytania

Jak narysować drzewko prawdopodobieństwa?

Każdy etap doświadczenia to jeden poziom drzewka. Z punktu startowego wychodzą gałęzie odpowiadające wynikom pierwszego etapu, z końca każdej z nich - gałęzie drugiego etapu itd. Na każdej gałęzi zapisujemy prawdopodobieństwo tego wyniku przy założeniu, że doszliśmy do jej początku (przy losowaniu bez zwracania skład urny się zmienia). Kontrola: gałęzie wychodzące z jednego węzła sumują się do 1.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo całkowite?

Mnożymy prawdopodobieństwa wzdłuż każdej drogi prowadzącej do zdarzenia A i dodajemy wyniki wszystkich takich dróg. Wzorem: P(A) = P(A | B₁)·P(B₁) + … + P(A | Bₙ)·P(Bₙ), gdzie B₁, …, Bₙ to wyniki pierwszego etapu. Przykład: trzy maszyny robią 50%, 30% i 20% śrub, z czego wadliwych jest 2%, 3% i 5%; P(wadliwa) = 0,02·0,5 + 0,03·0,3 + 0,05·0,2 = 0,029.

Jaki jest prosty przykład wzoru Bayesa?

Śruba z przykładu z trzema maszynami okazała się wadliwa. Z jakim prawdopodobieństwem zrobiła ją maszyna M₃? Licznik to droga przez M₃: 0,05·0,2 = 0,01, mianownik to prawdopodobieństwo całkowite 0,029. P(M₃ | wadliwa) = 0,01 : 0,029 = 10/29 ≈ 34,5%, choć M₃ robi tylko 20% śrub.

Czy na drzewku prawdopodobieństwa mnożymy, czy dodajemy?

Jedno i drugie: wzdłuż jednej drogi (od korzenia do liścia) mnożymy, a wyniki różnych dróg sprzyjających zdarzeniu dodajemy. Najczęstszy błąd to odwrócenie tych reguł.

Ile wynosi suma prawdopodobieństw na gałęziach drzewka?

Gałęzie wychodzące z jednego węzła zawsze sumują się do 1, bo opisują wszystkie możliwe wyniki danego etapu. Do 1 sumują się też iloczyny na wszystkich liściach drzewka. Kalkulator sprawdza obie rzeczy i mówi, ile brakuje albo ile jest za dużo.

Czy drzewko prawdopodobieństwa daje ten sam wynik co definicja klasyczna?

Tak, jeśli obie metody opisują to samo doświadczenie. Dwie kule losowane bez zwracania z urny z 3 białymi i 2 czarnymi są tego samego koloru z prawdopodobieństwem 3/5·2/4 + 2/5·1/4 = 2/5, a z kombinacji (3 + 1)/10 = 2/5. Drzewko działa także wtedy, gdy wyniki nie są jednakowo prawdopodobne.

Podsumowanie

Drzewko: poziom = etap, gałąź = wynik etapu, na gałęzi - prawdopodobieństwo warunkowe.
Wzdłuż drogi mnożymy, drogi sprzyjające dodajemy - to jest prawdopodobieństwo całkowite.
Wzór Bayesa to jedna droga sprzyjająca podzielona przez sumę wszystkich.
Gałęzie z każdego węzła i wszystkie liście sumują się do 1 - to kontrola rachunków.

Zobacz też

Drzewka - doświadczenia wieloetapowe - losowanie bez zwracania, moneta wybierająca urnę, mecz do dwóch wygranych
Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa - twierdzenie z dowodem, trzy maszyny, filtr spamu
Twierdzenie Bayesa - wzór, dowód i test na rzadką chorobę
Problem Monty Halla - symulator - wzór Bayesa w teleturnieju
Drzewka - zadania z rozwiązaniami i prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa - zadania
Rachunek prawdopodobieństwa - cały zestaw zadań