Matura 2016 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

Iloraz potęg o tej samej podstawie - odejmujemy wykładniki:

$$\frac{a^{-2{,}6}}{a^{1{,}3}} = a^{-2{,}6 - 1{,}3} = a^{-3{,}9}.$$

Pułapka B: dzielenie wykładników ($-2{,}6 : 1{,}3 = -2$) zamiast odejmowania. Pułapka C: dodanie ($-2{,}6 + 1{,}3$).

Odpowiedź: A. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym oraz zadania z potęg.

Zapisujemy liczbę logarytmowaną jako potęgę podstawy: $2\sqrt{2} = \sqrt{2}^2 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}^{\,3}$. Zatem

$$\log_{\sqrt{2}}\left(2\sqrt{2}\right) = \log_{\sqrt{2}}\sqrt{2}^{\,3} = 3.$$

Pułapka A: $\frac{3}{2}$ to $\log_2\left(2\sqrt{2}\right)$ - logarytm przy podstawie $2$, nie $\sqrt{2}$.

Odpowiedź: D. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z logarytmów.

Obie informacje opisują tę samą liczbę $b$:

$$0{,}48a = 0{,}32c \quad\Longrightarrow\quad c = \frac{0{,}48}{0{,}32}a = 1{,}5a.$$

Sprawdzenie sensu: $b$ to mniejszy procent liczby $c$ niż liczby $a$, więc $c$ musi być większe od $a$ - odpadają C i D. Pułapka D: $0{,}48 - 0{,}32 = 0{,}16$ - odjęcie procentów nie ma tu sensu.

Odpowiedź: A. Zobacz: procenty oraz zadania z procentów.

Rozwijamy kwadrat różnicy:

$$\left(2\sqrt{2} - a\right)^2 = 8 - 4\sqrt{2}\,a + a^2.$$

Część z $\sqrt{2}$ ma dać $-12\sqrt{2}$, więc $4a = 12$ i $a = 3$. Sprawdzamy część wymierną: $8 + 9 = 17$ - zgadza się. Dla $a = -3$ (pułapka D) wyszłoby $17 + 12\sqrt{2}$ - zły znak.

Odpowiedź: A. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania z wzorów skróconego mnożenia.

Wystarczy podstawić każdą z liczb do lewej strony:

• $x = 1$: $-1 + 1 - 1 = -1$, a $-1 < -2$ jest fałszem;
• $x = -1$: $1 - 1 + 1 = 1$ - fałsz;
• $x = 2$: $-32 + 8 - 2 = -26 < -2$ - prawda;
• $x = -2$: $32 - 8 + 2 = 26$ - fałsz.

Pułapka: przy $x = -2$ łatwo zgubić minus przed $x^5$ - tymczasem $-(-2)^5 = +32$.

Odpowiedź: C. Zobacz: nierówności wielomianowe.

Mnożymy pierwsze równanie przez $2$: $4x - 6y = 8$. Odejmujemy je od drugiego:

$$(5x - 6y) - (4x - 6y) = 7 - 8 \quad\Longrightarrow\quad x = -1.$$

Wtedy $2 \cdot (-1) - 3y = 4$, więc $y = -2$. Sprawdzenie w drugim równaniu: $-5 + 12 = 7$.

Odpowiedź: C. Zobacz: metoda przeciwnych współczynników oraz zadania z układów równań.

Krok 1. Kąt wpisany $ADC$ i kąt środkowy $ASC$ są oparte na tym samym łuku $AC$, więc wpisany jest dwa razy mniejszy:

$$|\sphericalangle ADC| = \frac{118^\circ}{2} = 59^\circ.$$

Krok 2. Półprosta $DB$ dzieli kąt $ADC$ na kąty $ADB$ i $BDC$:

$$|\sphericalangle BDC| = 59^\circ - 27^\circ = 32^\circ.$$

Pułapka A: $118^\circ - 27^\circ = 91^\circ$ - odjęcie od kąta środkowego zamiast od wpisanego.

Odpowiedź: D. Zobacz: kąty w kole.

$$\frac{3}{4}x + 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{4}x = -6 \quad\Longrightarrow\quad x = -6 \cdot \frac{4}{3} = -8.$$

Pułapka A: zgubiony minus przy przenoszeniu $6$ na drugą stronę.

Odpowiedź: D. Zobacz: miejsce zerowe funkcji liniowej.

Mnożymy przez $x + 5$ (wolno, bo $x \ne -5$):

$$3x - 1 = 3x + 15 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 = 15.$$

To sprzeczność, więc równanie nie ma rozwiązań. Widać to też bez rachunku: $\frac{3x - 1}{x + 5} = 3 - \frac{16}{x + 5}$, a ułamek $\frac{16}{x + 5}$ nigdy nie jest zerem.

Odpowiedź: A. Zobacz: równania wymierne.

Parabola ma ramiona skierowane w dół, więc najwyżej leży wierzchołek $W = (1, 9)$, a w dół wykres biegnie bez końca. Zbiór wartości to $(-\infty, 9]$ - druga współrzędna wierzchołka.

Pułapka B: $[-2, 4]$ to przedział między miejscami zerowymi (zbiór, gdzie $f(x) \ge 0$), a nie zbiór wartości.

Odpowiedź: D. Zobacz: zbiór wartości funkcji.

Z miejsc zerowych i wierzchołka: $f(x) = a(x + 2)(x - 4)$ oraz $f(1) = a \cdot 3 \cdot (-3) = 9$, więc $a = -1$:

$$f(x) = -(x + 2)(x - 4).$$

Wierzchołek $x = 1$ należy do przedziału $[-1, 2]$ i tam jest największa wartość. Najmniejsza jest na końcu przedziału położonym dalej od wierzchołka:

$$f(-1) = -(1)(-5) = 5, \qquad f(2) = -(4)(-2) = 8.$$

Najmniejsza to $5$. Pułapka D: $9$ to wartość największa w tym przedziale.

Odpowiedź: B. Zobacz: wartość najmniejsza i największa w przedziale.

Dla $x = -\sqrt[3]{3}$ mamy $x^3 = -3$ oraz $x^6 = \left(x^3\right)^2 = 9$. Zatem

$$f\left(-\sqrt[3]{3}\right) = \frac{2 \cdot (-3)}{9 + 1} = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}.$$

Pułapka C: zgubiony minus - nieparzysta potęga liczby ujemnej jest ujemna.

Odpowiedź: B. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny.

Odległość $S$ od cięciwy to długość odcinka $SK$ prostopadłego do $AB$. W trójkącie prostokątnym $AKS$ przeciwprostokątna to promień $|AS| = 10$, a $SK$ leży naprzeciw kąta $31^\circ$:

$$|SK| = 10 \cdot \sin 31^\circ \approx 10 \cdot 0{,}5150 = 5{,}15.$$

Liczba $5{,}15$ należy do przedziału $\left[4{,}5;\ 5{,}5\right]$. Pułapka C: użycie cosinusa daje $10 \cdot \cos 31^\circ \approx 8{,}57$ - to długość $AK$, czyli połowa cięciwy.

Odpowiedź: A. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z trygonometrii.

Od wyrazu siódmego do czternastego jest $7$ kroków, więc $a_{14} = a_7 + 7r$:

$$a_7 = a_{14} - 7r = 8 - 7 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = 8 + \frac{21}{2} = \frac{37}{2}.$$

Ciąg jest malejący, więc wcześniejszy wyraz musi być większy od $8$ - odpadają B, C i D. Pułapka D: $8 + 7r = -\frac{5}{2}$ - krok w złą stronę.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągów.

W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego to iloczyn skrajnych:

$$(2x + 3)^2 = x(4x + 3) \quad\Longleftrightarrow\quad 4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x \quad\Longleftrightarrow\quad 9x = -9 \quad\Longleftrightarrow\quad x = -1.$$

Sprawdzenie: ciąg $(-1, 1, -1)$ jest geometryczny o ilorazie $-1$. Odpowiedź C ($x = 0$) daje ciąg $(0, 3, 3)$, który geometryczny nie jest.

Odpowiedź: D. Zobacz: ciąg geometryczny.

Krok 1. Brakujące kąty. W trójkącie $ABC$: $|\sphericalangle C| = 180^\circ - 70^\circ - 48^\circ = 62^\circ$. W trójkącie $PQR$: $|\sphericalangle Q| = 180^\circ - 70^\circ - 62^\circ = 48^\circ$.

Krok 2. Odpowiadające wierzchołki to te o równych kątach: $A \leftrightarrow P$ ($70^\circ$), $B \leftrightarrow Q$ ($48^\circ$), $C \leftrightarrow R$ ($62^\circ$). Bokowi $BC$ odpowiada więc $QR$, a bokowi $AB$ - bok $PQ$.

Krok 3. Skala. $\frac{|BC|}{|QR|} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$, więc

$$|AB| = \frac{1}{2} \cdot |PQ| = \frac{1}{2} \cdot 17 = 8{,}5.$$

Pułapka: dopasowanie boków „po położeniu na rysunku” zamiast po kątach - trójkąty są narysowane w innym ułożeniu.

Odpowiedź: B. Zobacz: podobieństwo trójkątów oraz zadania z trójkątów.

Rysujemy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi $2$ (naprzeciw $\alpha$) i $3$ (przy $\alpha$). Przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$, więc

$$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}.$$

Pułapka D: $\frac{3\sqrt{13}}{13}$ to $\cos\alpha$ (przyprostokątna przyległa przez przeciwprostokątną).

Odpowiedź: C. Zobacz: trygonometria kąta ostrego.

Dwa odcinki muszą być równe. Sprawdzamy trzy możliwości:

• $2a + 1 = 5$: $a = 2$, boki $5, 5, 1$ - nierówność trójkąta $1 + 5 > 5$ spełniona, trójkąt istnieje;
• $a - 1 = 5$: $a = 6$, boki $5, 13, 5$ - ale $5 + 5 < 13$, trójkąta nie ma;
• $2a + 1 = a - 1$: $a = -2$ - długości ujemne.

Pułapka A: $a = 6$ daje dwa równe odcinki, ale nie spełnia nierówności trójkąta.

Odpowiedź: D. Zobacz: podział trójkątów.

Krok 1. Długości. Okręgi są styczne zewnętrznie, więc $|O_1O_2| = 3 + 4 = 7$. Promień $O_2P = 4$ jest prostopadły do stycznej, więc trójkąt $O_1PO_2$ ma kąt prosty przy $P$.

Krok 2. Twierdzenie Pitagorasa.

$$|O_1P| = \sqrt{7^2 - 4^2} = \sqrt{33}.$$

Krok 3. Pole trójkąta prostokątnego to połowa iloczynu przyprostokątnych:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \sqrt{33} = 2\sqrt{33}.$$

Pułapka C ($4\sqrt{33}$): zapomniana połowa. Pułapka A ($14 = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 4$): wzięcie $O_1O_2$ jako przyprostokątnej, choć to przeciwprostokątna.

Odpowiedź: B. Zobacz: dwa okręgi oraz styczna i sieczna.

Iloczyn współczynników kierunkowych ma być równy $-1$ (przy $m \ne 1$ i $m \ne -1$):

$$\frac{2}{m - 1} \cdot m = -1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2m = -(m - 1) \quad\Longleftrightarrow\quad 3m = 1 \quad\Longleftrightarrow\quad m = \frac{1}{3}.$$

Sprawdzenie: dla $m = \frac{1}{3}$ współczynniki to $\frac{2}{-\frac{2}{3}} = -3$ i $\frac{1}{3}$, a $-3 \cdot \frac{1}{3} = -1$. Pułapka A: $m = 2$ daje równe współczynniki $2$ i $2$ - proste równoległe.

Odpowiedź: C. Zobacz: współczynnik kierunkowy prostej.

Współrzędne środka to średnie współrzędnych końców:

$$\frac{a + 7}{2} = 3 \;\Longrightarrow\; a = -1, \qquad \frac{6 + b}{2} = 4 \;\Longrightarrow\; b = 2.$$

Pułapka C: $a = 7 - 3$ i $b = 6 + 4$ - zamiast średniej liczona różnica albo suma.

Odpowiedź: B. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych.

Wszystkich wyników jest $2^3 = 8$. Dokładnie dwa orły: OOR, ORO, ROO - trzy wyniki. Zatem

$$p = \frac{3}{8} = 0{,}375,$$

a $0{,}35 < 0{,}375 \le 0{,}5$. Pułapka B: $\frac{1}{4}$ - pominięcie tego, że reszka może wypaść w dowolnym z trzech rzutów.

Odpowiedź: C. Zobacz: schemat Bernoulliego oraz zadania z prawdopodobieństwa.

Wysokość stożka dzieli kąt rozwarcia na pół, więc tworząca $l = 4$ tworzy z wysokością kąt $60^\circ$:

$$h = 4\cos 60^\circ = 2, \qquad r = 4\sin 60^\circ = 2\sqrt{3}.$$

Stąd

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi.$$

Pułapka C ($24\pi$): pominięty czynnik $\frac{1}{3}$ - to objętość walca o tych wymiarach.

Odpowiedź: D. Zobacz: stożek oraz zadania z brył obrotowych.

Kąt $\alpha$ ma wierzchołek w środku przekątnej podstawy $O$. Jego ramiona to połowa drugiej przekątnej podstawy (prostopadła do krawędzi przekroju) i odcinek łączący $O$ z wierzchołkiem górnej podstawy. Razem z krawędzią boczną tworzą trójkąt prostokątny o przyprostokątnych:

• $H$ - wysokość graniastosłupa,
• $\frac{d}{2}$ - połowa przekątnej podstawy, a z treści $d = 2H$, czyli $\frac{d}{2} = H$.

Zatem

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{d/2} = \frac{H}{H} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 45^\circ.$$

Najczęstszy błąd to podstawienie całej przekątnej $d = 2H$ zamiast jej połowy - wychodzi wtedy $\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}$, czyli kąt około $26{,}6^\circ$, którego nie ma wśród odpowiedzi. Kąta nie odczytujemy z rysunku - rzut ukośny zniekształca kąty.

Odpowiedź: B. Zobacz: kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny oraz przekroje wielościanów.

Krok 1. Liczba $x$. Suma znanych liczb to $128$, więc

$$\frac{128 + x}{6} = \frac{x}{2} \quad\Longrightarrow\quad 128 + x = 3x \quad\Longrightarrow\quad x = 64.$$

Krok 2. Mediana. Porządkujemy: $16, 25, 27, 29, 31, 64$. Liczb jest sześć, więc mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{27 + 29}{2} = 28.$$

Pułapka B: mediana z nieposortowanych danych - w kolejności z treści środkowe są $25$ i $29$, co daje $27$.

Odpowiedź: C. Zobacz: mediana, moda i skala centylowa oraz zadania ze statystyki.

Krok 1. Średnia.

$$\bar{x} = \frac{10 + 10 + 7 + 8 + 8 + 7}{6} = \frac{50}{6} = 8\tfrac{1}{3} \text{ cm} \approx 8 \text{ cm}.$$

Krok 2. Błąd bezwzględny to $\left|8\tfrac{1}{3} - 8\right| = \frac{1}{3}$ cm.

Krok 3. Błąd względny to błąd bezwzględny podzielony przez wartość dokładną:

$$\delta = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{25}{3}} = \frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\%.$$

Pułapka: dzielenie przez przybliżenie $8$ zamiast przez wartość dokładną $8\frac{1}{3}$ - wychodzi wtedy $\frac{1}{24} \approx 4{,}17\%$.

Odpowiedź: średni przyrost $\approx 8$ cm, błąd względny $4\%$. Zobacz: przybliżenia, błędy i szacowanie.

Krok 1. Porządkujemy. Przenosimy wszystko na prawą stronę:

$$0 > x^2 - 2x \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 2) < 0.$$

Krok 2. Miejsca zerowe trójmianu $x^2 - 2x$ to $0$ i $2$; parabola ma ramiona w górę, więc wartości ujemne są między miejscami zerowymi.

Pułapka: podzielenie obu stron przez $x$ (bez znajomości znaku $x$) - gubi się część rozwiązań albo odwraca znak nierówności.

Odpowiedź: $x \in (0, 2)$. Zobacz: nierówności kwadratowe.

Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem.

Krok 1. $4 - x = 0$ daje $x = 4$.

Krok 2. $x^2 + 2x - 15 = 0$: $\Delta = 4 + 60 = 64$, $\sqrt{\Delta} = 8$, więc

$$x = \frac{-2 - 8}{2} = -5 \quad\text{lub}\quad x = \frac{-2 + 8}{2} = 3.$$

Odpowiedź: $x = -5$, $x = 3$, $x = 4$. Zobacz: równania wielomianowe oraz równania kwadratowe.

Niech $\gamma = |\sphericalangle ACB|$ i $\beta = |\sphericalangle ABC|$. Trójkąt $ABC$ ma kąt prosty przy $A$, więc $\beta = 90^\circ - \gamma$.

Krok 1. Trójkąt $CDE$. Kąt przy $E$ jest prosty, kąt przy $C$ to $\gamma$ (bo $D$ leży na $AC$, a $E$ na $CB$), więc kąt przy $D$ ma miarę $90^\circ - \gamma$.

Krok 2. Trójkąt $FBG$. Kąt przy $G$ jest prosty, kąt przy $B$ to $\beta = 90^\circ - \gamma$ (bo $G$ leży na $BA$, a $F$ na $BC$), więc kąt przy $F$ ma miarę $90^\circ - \beta = \gamma$.

Krok 3. Wniosek. Oba trójkąty mają kąty $90^\circ$, $\gamma$ i $90^\circ - \gamma$, więc są podobne na mocy cechy kąt-kąt-kąt (odpowiadają sobie wierzchołki $C \leftrightarrow F$, $D \leftrightarrow B$, $E \leftrightarrow G$). To kończy dowód.

Odpowiedź: dowód - trójkąty $CDE$ i $FBG$ mają równe kąty ($90^\circ$, $\gamma$, $90^\circ - \gamma$). Zobacz: podobieństwo trójkątów.

Krok 1. Wyraz następny. $a_{n+1} = 2(n + 1)^2 + 2(n + 1) = 2n^2 + 6n + 4$.

Krok 2. Suma.

$$a_n + a_{n+1} = \left(2n^2 + 2n\right) + \left(2n^2 + 6n + 4\right) = 4n^2 + 8n + 4 = 4(n + 1)^2 = (2n + 2)^2.$$

Krok 3. Wniosek. Dla $n \ge 1$ liczba $2n + 2$ jest naturalna, więc suma dowolnych dwóch kolejnych wyrazów jest kwadratem liczby naturalnej. To kończy dowód. (Przykład: $a_1 + a_2 = 4 + 12 = 16 = 4^2$.)

Odpowiedź: dowód - $a_n + a_{n+1} = (2n + 2)^2$. Zobacz: ciąg liczbowy.

Krok 1. Z definicji logarytmu. $6{,}2 = \log\dfrac{A}{10^{-4}}$ oznacza

$$\frac{A}{10^{-4}} = 10^{6{,}2} \quad\Longrightarrow\quad A = 10^{6{,}2} \cdot 10^{-4} = 10^{2{,}2} \text{ cm}.$$

Krok 2. Porównanie. $100 = 10^2$, a funkcja $y = 10^x$ jest rosnąca i $2{,}2 > 2$, więc $10^{2{,}2} > 10^2 = 100$. Dla orientacji: $10^{2{,}2} \approx 158{,}5$ cm.

Pułapka: zgubienie $A_0$ i wynik $A = 10^{6{,}2}$ cm albo dodanie wykładników ze złym znakiem ($10^{10{,}2}$).

Odpowiedź: $A = 10^{2{,}2}$ cm $\approx 158$ cm - amplituda była większa od $100$ cm. Zobacz: logarytm w zadaniach praktycznych.

Krok 1. Oznaczenia. Dwa „pozostałe” kąty różnią się o $50^\circ$: oznaczmy mniejszy z nich przez $\alpha$, większy to $\alpha + 50^\circ$. Pierwszy kąt jest trzy razy większy od mniejszego z nich: $3\alpha$.

Krok 2. Suma kątów trójkąta.

$$\alpha + (\alpha + 50^\circ) + 3\alpha = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad 5\alpha = 130^\circ \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 26^\circ.$$

Krok 3. Kąty. $\alpha = 26^\circ$, $\alpha + 50^\circ = 76^\circ$, $3\alpha = 78^\circ$.

Krok 4. Sprawdzenie. $26^\circ + 76^\circ + 78^\circ = 180^\circ$; $76^\circ - 26^\circ = 50^\circ$; $78^\circ = 3 \cdot 26^\circ$, a $26^\circ$ jest mniejszym z kątów $26^\circ$ i $76^\circ$. Wszystkie warunki są spełnione.

Pułapka: przyjęcie, że trzy razy większy ma być większy z dwóch pozostałych kątów - treść mówi o mniejszym.

Odpowiedź: $26^\circ$, $76^\circ$, $78^\circ$. Zobacz: podział trójkątów i suma kątów.

Krok 1. Krawędź podstawy. Niech $a$ będzie krawędzią podstawy. Wysokość podstawy to $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ i taka sama jest wysokość ostrosłupa $H$. Objętość:

$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{8} = 27 \quad\Longrightarrow\quad a^3 = 216 \quad\Longrightarrow\quad a = 6.$$

Stąd $H = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Krok 2. Odległość spodka wysokości od krawędzi podstawy. W ostrosłupie prawidłowym $O$ to środek trójkąta równobocznego, a jego odległość od boku to $\frac{1}{3}$ wysokości trójkąta: $r = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Krok 3. Wysokość ściany bocznej $h$ - przeciwprostokątna trójkąta o przyprostokątnych $H$ i $r$:

$$h = \sqrt{\left(3\sqrt{3}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2} = \sqrt{27 + 3} = \sqrt{30}.$$

Krok 4. Pole powierzchni bocznej - trzy przystające trójkąty o podstawie $6$ i wysokości $\sqrt{30}$:

$$P_b = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{30} = 9\sqrt{30}.$$

Krok 5. Cosinus kąta między wysokością ściany bocznej a podstawą - w tym samym trójkącie prostokątnym przyprostokątna przy kącie to $r$:

$$\cos\alpha = \frac{r}{h} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}.$$

Pułapka: wzięcie za $r$ odległości od wierzchołka ($\frac{2}{3}$ wysokości podstawy, czyli $2\sqrt{3}$) - to dotyczy kąta nachylenia krawędzi bocznej, a nie wysokości ściany.

Odpowiedź: $P_b = 9\sqrt{30}$, $\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{10}}{10}$. Zobacz: ostrosłupy oraz zadania z graniastosłupów i ostrosłupów.

Krok 1. Zdarzenia elementarne. Liczb dwucyfrowych jest $90$ (od $10$ do $99$). Losujemy kolejno bez zwracania, więc wynikami są pary uporządkowane różnych liczb:

$$|\Omega| = 90 \cdot 89 = 8010.$$

Krok 2. Zdarzenie sprzyjające. Obie liczby są co najmniej $10$, więc suma $30$ wymaga, by każda była co najwyżej $20$. Pary: $(10, 20), (11, 19), (12, 18), (13, 17), (14, 16)$ oraz te same w odwrotnej kolejności. Para $(15, 15)$ odpada - losujemy bez zwracania. Razem $|A| = 10$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$$P(A) = \frac{10}{8010} = \frac{1}{801}.$$

Pułapka: doliczenie pary $(15, 15)$ albo policzenie par nieuporządkowanych ($5$) przy uporządkowanym $|\Omega| = 8010$ - wychodzi wtedy dwa razy za mało.

Odpowiedź: $P(A) = \dfrac{1}{801}$. Zobacz: definicja prawdopodobieństwa oraz zadania z kombinatoryki.