matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Kalkulator kombinatoryczny

Kalkulator kombinatoryczny liczy symbol Newtona (n po k), kombinacje, wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń, permutacje (także z powtórzeniami, np. przestawienia liter słowa), silnię, wiersz trójkąta Pascala oraz dwumian Newtona - pełne rozwinięcie (2x − 3)⁵ albo jeden wyraz: współczynnik przy xᵏ i wyraz wolny. Każdy wynik jest dokładny i rozpisany krok po kroku: n po k przez skracanie, a nie przez liczenie ogromnych silni. Jeśli nie wiesz, którego wzoru użyć, odpowiedz na trzy pytania - o kolejność, powtórzenia i wszystkie elementy - a kalkulator wskaże model, tak jak w lekcjach działu kombinatoryka.

Nie wiesz, który wzór? Odpowiedz na pytania

Czy kolejność wybranych elementów ma znaczenie?

Zamień miejscami dwa wybrane elementy. Wynik się zmienia (kod 12 to nie kod 21, prezes i skarbnik to różne funkcje, podium) - kolejność ma znaczenie. Zostaje ta sama grupa (delegacja, karty w ręce, trójkąt ABC = CAB) - nie ma.

Przykłady z lekcji:

Wyniki: kombinacje 5-elementowe zbioru 42-elementowego

WielkośćWynik
C542 = 425850 668

Rozwiązanie krok po kroku

Dlaczego ten wzór?

To kombinacje: C = n!/(k!(n − k)!)

  • Czy kolejność ma znaczenie? nie
  • Czy elementy mogą się powtarzać? nie
  • Czy bierzemy wszystkie elementy? nie - wybieramy k z n
  • Typowe zadania: delegacje i drużyny bez funkcji, karty, Lotto, uściski dłoni, trójkąty z punktów. Więcej w lekcji kombinacje.

Symbol Newtona przez skracanie

C542 = 425 = 850 668

  1. Wzór: 425 = 42!5! · 37!.
  2. Skracamy 37! - w liczniku zostaje 5 czynników od 42 w dół, w mianowniku 5!: 425 = 42 · 41 · 40 · 39 · 385 · 4 · 3 · 2 · 1.
  3. Skracamy czynniki mianownika z czynnikami licznika: 40 : 5 = 8; 8 : 4 = 2; 42 : 3 = 14; 14 : 2 = 7.
  4. Zostaje 7 · 41 · 2 · 39 · 38 = 850 668.
  5. Sprawdzenie przez wariacje: z kolejnością byłoby V542 = 102 080 160 wyborów, a każdy 5-elementowy podzbiór można ustawić na 5! = 120 sposobów: 102 080 160 : 120 = 850 668.

Ten sam wybór w innych modelach

Te same n i k, inne odpowiedzi na pytania o kolejność i powtórzenia - inny wynik. Gdy wahasz się między wzorami, sprawdź, które odpowiedzi pasują do treści zadania.

ModelKolejnośćPowtórzeniaWynik
wariacje z powtórzeniamitaktakV542 = 130 691 232
wariacje bez powtórzeńtaknieV542 = 102 080 160
kombinacjenienieC542 = 850 668ten wynik
kombinacje z powtórzeniaminietakC542 = 1 370 754

Który wzór wybrać? Trzy pytania

Wariacje, permutacje i kombinacje to gotowe skróty reguły mnożenia. O tym, który pasuje do zadania, decydują odpowiedzi na trzy pytania: czy kolejność ma znaczenie, czy elementy mogą się powtarzać i czy bierzemy wszystkie elementy. Najpewniejszy test na kolejność: zamień miejscami dwa wybrane elementy i sprawdź, czy wynik jest ten sam. „Ile jest liczb trzycyfrowych…” to zawsze ciąg cyfr, nawet jeśli w treści pada słowo „wybieramy”, a „ile jest trójkątów o wierzchołkach w tych punktach” - zbiór.

ModelKolejnośćPowtórzeniaWszystkieLiczba możliwościPrzykład
wariacje z powtórzeniamitaktaknienᵏkod PIN: 10⁴
wariacje bez powtórzeńtaknienien!/(n − k)!3 funkcje z 28 osób
permutacjetaknietakn!5 książek na półce
permutacje z powtórzeniamitakjednakowe elementytakn!/(k₁! · k₂! · …)słowo ANANAS
kombinacjenienienien!/(k!(n − k)!)Mini Lotto: 5 z 42
kombinacje z powtórzeniaminietaknie(n + k − 1 po k)3 gałki z 5 smaków

Gdy treść ma dodatkowy warunek, sam wzór nie wystarczy: „co najmniej jeden” liczymy przez zdarzenie przeciwne, „dokładnie” i „co najwyżej” - rozbijając na przypadki, „obok siebie” - sklejając elementy w blok. Takie strategie krok po kroku pokazuje lekcja kombinatoryka - zadania różne, a kalkulator liczy klocki, z których składa się rozwiązanie.

Wzory kombinatoryczne

Wariacje z powtórzeniami (kreska nad literą = z powtórzeniami):

V‾nk=nk\overline{V}_n^k = n^k

Wariacje bez powtórzeń (k ≤ n):

Vnk=n⋅(n−1)⋅…⋅(n−k+1)=n!(n−k)!V_n^k = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) = \frac{n!}{(n-k)!}

Permutacje i permutacje z powtórzeniami (k₁ + k₂ + … + kₛ = n):

Pn=n!,P‾n=n!k1!⋅k2!⋅…⋅ks!P_n = n!, \qquad \overline{P}_n = \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdot \ldots \cdot k_s!}

Kombinacje i kombinacje z powtórzeniami:

Cnk=(nk)=n!k!⋅(n−k)!=Vnkk!C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{V_n^k}{k!}
C‾nk=(n+k−1k)\overline{C}_n^k = \binom{n+k-1}{k}

Dwumian Newtona i jego wyraz ogólny:

(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k
Tk+1=(nk)an−kbkT_{k+1} = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Jak liczyć n po k bez wielkich silni

Ze wzoru n!/(k!(n − k)!) nikt nie liczy całych silni - silnia (n − k)! skraca się od razu i w liczniku zostaje k czynników od n w dół, a w mianowniku k!. Potem skracamy czynnik po czynniku, zanim cokolwiek pomnożymy: 30 po 3 = (30 · 29 · 28)/(3 · 2 · 1) = 5 · 29 · 28 = 4060. Gdy k jest bliskie n, najpierw symetria: 12 po 10 = 12 po 2 = 66. Kalkulator robi dokładnie to samo i wypisuje każde skrócenie, a na koniec sprawdza wynik przez wariacje: kombinacji jest k! razy mniej niż wariacji. Własności symbolu Newtona z dowodami i trójkąt Pascala (wiersz 7) opisuje lekcja symbol Newtona i trójkąt Pascala.

Dwumian Newtona: rozwinięcie i wybrany wyraz

Dwumian wpisz w nawiasie z wykładnikiem: (x − 3)^5, (2x + 1)^6, (x^2 − 2/x)^6, a nawet (1 + 0,02)^5 - wtedy dostaniesz dokładną wartość 1,02⁵ i przybliżenie z pierwszych wyrazów. Składnikami mogą być jednomiany z dowolną literą, także z potęgą ujemną (2/x, x^-2). Rozwinięcie ma n + 1 wyrazów: współczynniki z n-tego wiersza trójkąta Pascala, potęgi a maleją, potęgi b rosną, a różnicę traktujemy jak sumę z ujemnym b. Kalkulator na końcu sprawdza wynik podstawieniem x = 1. W trybie „współczynnik, wyraz wolny” wykładnik może sięgać 100 - kalkulator wyznacza k z wyrazu ogólnego, jak w przykładach współczynnika przy x⁴ i wyrazu wolnego z lekcji dwumian Newtona.

Najczęstsze pytania

Jak odróżnić kombinację od wariacji?

Zamień miejscami dwa wybrane elementy. Jeśli wynik się nie zmienia (ta sama delegacja, te same karty, ten sam trójkąt), kolejność nie ma znaczenia - to kombinacja. Jeśli się zmienia (inny kod, inne funkcje, inne miejsca na podium), to wariacja. Wariacji jest zawsze k! razy więcej: z 10 osób trzy na dyżur wybierzemy na 120 sposobów, a przewodniczącego, zastępcę i skarbnika na 720.

Jak obliczyć n po k?

Zapisz w liczniku k kolejnych liczb od n w dół, w mianowniku k!, i skróć przed mnożeniem. Na przykład 30 po 3 = (30 · 29 · 28)/(3 · 2 · 1) = 5 · 29 · 28 = 4060. Gdy k jest bliskie n, skorzystaj z symetrii: 12 po 10 = 12 po 2 = 66.

Kiedy stosować wzór n do potęgi k?

Gdy wybierasz k razy po kolei, kolejność ma znaczenie, a elementy mogą się powtarzać - to wariacje z powtórzeniami. Wykładnik to liczba etapów, podstawa to liczba możliwości w jednym etapie: kod PIN to 10⁴ = 10 000, a 4 różne kule w 3 szufladach to 3⁴ = 81, nie 4³.

Ile jest możliwych wyników w Mini Lotto?

Losuje się 5 liczb z 42, a kolejność losowania nie ma znaczenia, więc to kombinacje: 42 po 5 = (42 · 41 · 40 · 39 · 38)/(5 · 4 · 3 · 2 · 1) = 850 668. Szansa trafienia piątki jednym zakładem to 1/850 668.

Ile słów można ułożyć z liter danego słowa?

Podziel n! przez iloczyn silni liczby powtórzeń każdej litery (permutacje z powtórzeniami). ANANAS ma 6 liter: A trzy razy, N dwa razy, S raz, więc 6!/(3! · 2! · 1!) = 720/12 = 60 słów. MAMA daje 4!/(2! · 2!) = 6.

Ile zer na końcu ma 100 silnia?

Każde zero na końcu to czynnik 10 = 2 · 5, a piątek w iloczynie 1 · 2 · … · 100 jest mniej niż dwójek. Liczymy więc piątki: 100/5 = 20 liczb podzielnych przez 5 i 100/25 = 4 liczby podzielne przez 25, które dają drugą piątkę. Razem 24 zera; całe 100! ma 158 cyfr.

Jak znaleźć współczynnik przy x do danej potęgi w dwumianie Newtona?

Zapisz wyraz ogólny T(k+1) = (n po k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, oddziel liczby od potęgi x i przyrównaj potęgę x do szukanej - stąd k. Dla (3x − 1)⁶ i x⁴: 6 − k = 4, więc k = 2, a współczynnik to (6 po 2) · 3⁴ · (−1)² = 15 · 81 = 1215. Gdy k wychodzi niecałkowite albo spoza 0…n, współczynnik jest równy 0.

Czym są kombinacje z powtórzeniami?

To wybór k elementów z n rodzajów, gdy rodzaje mogą się powtarzać, a kolejność nie ma znaczenia - na przykład trzy gałki lodów z pięciu smaków. Liczba takich wyborów to (n + k − 1 po k): dla lodów 7 po 3 = 35. Tego wzoru nie ma w podstawie programowej liceum, ale bywa w zadaniach konkursowych.

Przećwicz i doczytaj

https://matematyka.net/szkola-srednia/kombinatoryka/kalkulator-kombinatoryczny · matematyka.net