Matura 2018 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

Wnosimy współczynnik do wykładnika i korzystamy ze wzoru na logarytm ilorazu:

$$2\log_3 6 - \log_3 4 = \log_3 36 - \log_3 4 = \log_3 \frac{36}{4} = \log_3 9 = 2.$$

Pułapka to odpowiedź D: $\log_3 8$ powstaje z błędnego „$2 \cdot 6 - 4 = 8$”, czyli z pominięcia praw działań na logarytmach.

Odpowiedź: B. Zobacz: zastosowanie logarytmów oraz zadania z logarytmów.

Iloczyn pierwiastków tego samego stopnia to pierwiastek iloczynu:

$$\sqrt[3]{\frac{7}{3} \cdot \frac{81}{56}} = \sqrt[3]{\frac{7 \cdot 81}{3 \cdot 56}} = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}.$$

Skróciliśmy $7$ z $56$ (zostaje $8$) i $3$ z $81$ (zostaje $27$). Odpowiedź D to kwadrat poprawnego wyniku, $\left(\frac{3}{2}\right)^2$.

Odpowiedź: C. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny oraz zadania z pierwiastków.

Dzielimy osobno liczby i potęgi dziesiątki:

$$\frac{a}{b} = \frac{3{,}6}{2{,}4} \cdot \frac{10^{-12}}{10^{-20}} = 1{,}5 \cdot 10^{-12 - (-20)} = 1{,}5 \cdot 10^{8}.$$

Pułapki: B to zgubiony minus przy odejmowaniu wykładników ($-12 + 20 = 8$, nie $-8$), a A - iloczyn$a \cdot b$ zamiast ilorazu.

Odpowiedź: C. Zobacz: potęga o wykładniku całkowitym ujemnym oraz zadania z potęg.

Po obniżce o $15\%$ zostaje $85\%$ ceny początkowej $x$:

$$0{,}85x = 850 \quad\Longrightarrow\quad x = 1000.$$

Pułapka to odpowiedź D: $977{,}50 = 850 \cdot 1{,}15$ - doliczenie $15\%$ do nowej ceny. Procent obniżki liczy się od ceny przed obniżką, więc taki rachunek nie wraca do punktu wyjścia.

Odpowiedź: C. Zobacz: procenty oraz zadania z procentów.

Mnożymy obie strony przez $6$ (liczba dodatnia - zwrot bez zmian):

$$3(1 - 2x) > 2 \quad\Longrightarrow\quad 3 - 6x > 2 \quad\Longrightarrow\quad -6x > -1 \quad\Longrightarrow\quad x < \frac{1}{6}.$$

W ostatnim kroku dzielimy przez $-6$, więc zmieniamy zwrot nierówności - bez tego wychodzi błędna odpowiedź C.

Odpowiedź: A. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: $x + 3 = 0$ lub $x - 5 = 0$, czyli $x_1 = -3$, $x_2 = 5$. Suma: $-3 + 5 = 2$.

Odpowiedź B to suma liczb „wziętych z nawiasów” ze złymi znakami ($3 + (-5)$). Współczynnik $-2$ nie wpływa na miejsca zerowe.

Odpowiedź: C. Zobacz: miejsca zerowe i postać iloczynowa.

Dziedzina: mianownik nie może być zerem, więc $x \ne -2$ i $x \ne 2$.

Ułamek jest równy zeru, gdy licznik jest zerem: $x^2 + 2x = x(x + 2) = 0$, czyli $x = 0$ lub $x = -2$. Liczba $-2$ nie należy do dziedziny, więc zostaje tylko $x = 0$.

Pułapka to odpowiedź B - rozwiązania samego licznika bez sprawdzenia dziedziny.

Odpowiedź: D. Zobacz: równania wymierne.

W funkcji $f(x) = ax + b$ znak współczynnika $a$ decyduje o monotoniczności, a $b$ to rzędna punktu przecięcia z osią $Oy$. Tu $a = \frac{1}{3} > 0$, więc funkcja jest rosnąca, a $f(0) = -1$, więc wykres przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, -1)$.

Odpowiedź: D. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania z funkcji liniowej.

Pierwsza współrzędna wierzchołka:

$$p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2} = 3, \qquad q = f(3) = 9 - 18 - 3 = -12.$$

Odpowiedzi A i B biorą za $p$ sam współczynnik $b$ - bez dzielenia przez $2a$ i ze złym znakiem.

Odpowiedź: C. Zobacz: postać kanoniczna oraz zadania z funkcji kwadratowej.

Wykres przechodzi przez punkty $(1, 0)$ i $(3, -2)$, więc współczynnik kierunkowy to

$$a = \frac{-2 - 0}{3 - 1} = -1.$$

Sprawdzenie: $f(x) = -x + 1$, $f(1) = 0$, $f(3) = -2$.

Odpowiedź: D. Zobacz: funkcja liniowa - wykres i miejsce zerowe.

Liczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1} - a_n = \frac{5 - 2(n + 1)}{6} - \frac{5 - 2n}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}.$$

Różnica jest stała, więc ciąg jest arytmetyczny. Pułapka B: $-2$ to współczynnik przy $n$ w liczniku, ale trzeba go jeszcze podzielić przez $6$. Ciąg nie jest geometryczny: $a_1 = \frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{1}{6}$, $a_3 = -\frac{1}{6}$, a $\frac{a_2}{a_1} = \frac{1}{3} \ne \frac{a_3}{a_2} = -1$.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągów.

Wyraz środkowy ciągu arytmetycznego jest średnią sąsiednich: $a_4 = a_5 - r$, $a_6 = a_5 + r$, więc

$$a_4 + a_5 + a_6 = 3a_5 = 12 \quad\Longrightarrow\quad a_5 = 4.$$

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

Iloraz $q = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 2$, więc

$$a_n = a_1 q^{n-1} = \sqrt{2} \cdot 2^{n-1} = \frac{\sqrt{2} \cdot 2^n}{2} = \frac{2^n}{\sqrt{2}}.$$

(W ostatnim kroku $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.) Sprawdzenie: $a_1 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$. Wzór A daje poprawny pierwszy wyraz, ale już $a_2 = 2 \ne 2\sqrt{2}$ - dlatego zawsze warto sprawdzić dwa wyrazy.

Odpowiedź: B. Zobacz: ciąg geometryczny.

Bok $LM$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, a $KL$ to przeciwprostokątna, więc

$$\sin\alpha = \frac{3}{8} = 0{,}375.$$

Z tablic: $\sin 21^\circ \approx 0{,}3584$, $\sin 22^\circ \approx 0{,}3746$, $\sin 23^\circ \approx 0{,}3907$, $\sin 24^\circ \approx 0{,}4067$. Ponieważ $0{,}3746 < 0{,}375 < 0{,}3907$, kąt $\alpha$ ma między $22^\circ$ a $23^\circ$ (dokładniej około $22{,}02^\circ$), więc spełnia warunek z odpowiedzi C.

Pułapka: przy użyciu cosinusa zamiast sinusa ($\cos\alpha = \frac{3}{8}$) wychodzi kąt około $68^\circ$, którego nie ma w żadnym przedziale - to sygnał, że pomylono boki.

Odpowiedź: C. Zobacz: trygonometria kąta ostrego - powtórzenie oraz zadania z trygonometrii.

Boki danego trójkąta są w stosunku $2 : 3 : 4$. Trójkąt podobny musi mieć boki w tym samym stosunku. W odpowiedzi A: $10 : 15 : 20 = 2 : 3 : 4$ (skala $\frac{10}{2\sqrt{5}} = \sqrt{5}$).

Pozostałe: B to kwadraty boków ($20 = (2\sqrt{5})^2$ itd., stosunek $4 : 9 : 16$), C - stosunek $\sqrt{2} : \sqrt{3} : 2$, D - stosunek $1 : 2 : 3$ (taki „trójkąt” w ogóle nie istnieje, bo $\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$).

Odpowiedź: A. Zobacz: podobieństwo trójkątów.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku: $\alpha = 2\beta$. Zatem

$$2\beta + \beta = 111^\circ \quad\Longrightarrow\quad \beta = 37^\circ, \qquad \alpha = 74^\circ.$$

Odpowiedź: A. Zobacz: koła i kąty oraz zadania z okręgów i kół.

Opuszczamy wysokość z wierzchołka $M$ na podstawę $KL$; jej spodek $P$ odcina odcinek $|PL| = a - b$ (reszta podstawy, $KP$, ma długość $b$, bo $KPMN$ jest prostokątem). W trójkącie prostokątnym $PLM$:

$$\cos 60^\circ = \frac{|PL|}{|LM|} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2} = \frac{a - b}{|LM|} \quad\Longrightarrow\quad |LM| = 2(a - b).$$

Odpowiedź A to przyprostokątna $PL$, a nie ramię trapezu.

Odpowiedź: B. Zobacz: trapezy oraz zadania z czworokątów.

Skoro $|KM| = |LM|$, to $KL$ jest podstawą trójkąta, a wysokość $MN$ opuszczona na podstawę trójkąta równoramiennego dzieli ją na połowy - $N$ jest środkiem odcinka $KL$:

$$\left(\frac{2 + x_L}{2}, \frac{2 + y_L}{2}\right) = (4, 3) \quad\Longrightarrow\quad L = (6, 4).$$

Odpowiedź: B. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:

$$m + 2 = 2m - 1 \quad\Longrightarrow\quad m = 3.$$

Dla $m = 3$ obie proste mają współczynnik $5$, a różne wyrazy wolne ($3$ i $-3$), więc są równoległe i różne.

Odpowiedź: B. Zobacz: równanie kierunkowe prostej.

Krawędź $NS$ jest prostopadła do podstawy, więc trójkąty $KNS$ i $MNS$ są prostokątne i równoramienne (przyprostokątne po $4$):

$$|KS| = |MS| = 4\sqrt{2}.$$

Odcinek $KM$ to przekątna kwadratu o boku $4$: $|KM| = 4\sqrt{2}$. Trójkąt $KMS$ ma wszystkie boki równe - jest równoboczny, więc $\alpha = 60^\circ$.

Odpowiedź: D. Zobacz: ostrosłupy oraz zadania z graniastosłupów i ostrosłupów.

Rzutem przekątnej bryły na podstawę jest przekątna podstawy: $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. Wysokość, przekątna podstawy i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny, w którym

$$\operatorname{tg} 45^\circ = \frac{H}{d} \quad\Longrightarrow\quad H = 5 \cdot 1 = 5.$$

Odpowiedź C ($5\sqrt{2}$) to długość przekątnej bryły, a nie wysokość.

Odpowiedź: A. Zobacz: kąt między prostą a płaszczyzną.

Objętość walca to $\pi r^2 \cdot r = \pi r^3$, a półkuli - połowa objętości kuli: $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$. Razem

$$V = \pi r^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{5}{3}\pi r^3.$$

Odpowiedź C to sama półkula, a B - objętość całej kuli.

Odpowiedź: A. Zobacz: kula i sfera oraz zadania z brył obrotowych.

Średnia: $\bar{x} = \frac{2m + 4m}{2m} = 3$. Każda liczba różni się od średniej dokładnie o $1$, więc wariancja

$$\sigma^2 = \frac{m \cdot (2 - 3)^2 + m \cdot (4 - 3)^2}{2m} = \frac{2m}{2m} = 1, \qquad \sigma = 1.$$

Wynik nie zależy od $m$.

Odpowiedź: B. Zobacz: wariancja i odchylenie standardowe oraz zadania ze statystyki.

Szukane liczby to $1000, 1005, 1010, \ldots, 2015$ - kolejne wielokrotności $5$. Ich liczba:

$$\frac{2015 - 1000}{5} + 1 = 203 + 1 = 204.$$

Pułapka to odpowiedź C: zapomnienie o „$+1$” (liczymy wyrazy, a nie odstępy między nimi). Inaczej: $1000 = 5 \cdot 200$, $2015 = 5 \cdot 403$, a liczb od $200$ do $403$ jest $204$.

Odpowiedź: D. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z kombinatoryki.

Kuponów wygrywających jest $50 - 15 = 35$, a wszystkich $50$:

$$P = \frac{35}{50}.$$

Odpowiedź C to prawdopodobieństwo wyciągnięcia kuponu przegrywającego, a A dzieli przez liczbę kuponów wygrywających zamiast wszystkich.

Odpowiedź: D. Zobacz: definicja prawdopodobieństwa.

Krok 1. Postać ogólna i pierwiastki. Przenosimy wszystko na lewą stronę: $2x^2 - 3x - 5 > 0$.

$$\Delta = 9 + 40 = 49, \qquad x_1 = \frac{3 - 7}{4} = -1, \qquad x_2 = \frac{3 + 7}{4} = \frac{5}{2}.$$

Krok 2. Znak. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni (ramiona paraboli w górę), więc trójmian jest dodatni poza przedziałem między pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do zbioru.

Pułapka: nie wolno rozwiązywać nierówności „po kawałku”, np. $x(2x - 3) > 5$ jako $x > 5$ lub $2x - 3 > 5$ - taki krok nie ma sensu, bo prawa strona nie jest zerem.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -1) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$. Zobacz: nierówności kwadratowe.

Iloczyn jest równy zeru, gdy któryś z czynników jest zerem.

Krok 1. $x^3 + 125 = 0 \Longleftrightarrow x^3 = -125 \Longleftrightarrow x = -5$ (pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej istnieje i jest ujemny).

Krok 2. $x^2 - 64 = 0 \Longleftrightarrow (x - 8)(x + 8) = 0 \Longleftrightarrow x = 8$ lub $x = -8$.

Częsty błąd to zgubienie rozwiązania $x = -8$ (zapisanie tylko $x = \sqrt{64}$).

Odpowiedź: $x = -5$, $x = -8$, $x = 8$. Zobacz: równania wielomianowe oraz zadania z wielomianów.

Krok 1. Wspólny mianownik po lewej stronie:

$$\frac{1}{2a} + \frac{1}{2b} = \frac{b + a}{2ab}.$$

Krok 2. Mnożymy obie strony przez $2ab(a + b)$. Ta liczba jest dodatnia, bo $a > 0$ i $b > 0$, więc zwrot nierówności się nie zmienia:

$$(a + b)^2 \ge 4ab \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 + 2ab + b^2 - 4ab \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (a - b)^2 \ge 0.$$

Krok 3. Wniosek. Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ostatnia nierówność jest prawdziwa. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc prawdziwa jest też nierówność wyjściowa. Równość zachodzi tylko dla $a = b$. To kończy dowód.

Sprawdzenie dla kilku wybranych liczb nie jest dowodem - zasady oceniania CKE dają za nie $0$ punktów.

Odpowiedź: nierówność jest równoważna $(a - b)^2 \ge 0$. Zobacz: dowodzenie nierówności, średnie.

Oznaczmy przez $S$ wierzchołek kąta prostego, a przez $r$ - promień okręgu o środku $B$.

Krok 1. Oba środki leżą na dwusiecznej kąta. Środek okręgu stycznego do obu ramion jest równo oddalony od ramion, więc leży na dwusiecznej. Okrąg o środku $A$ i promieniu $2$ ma środek w odległości $2$ od każdego ramienia, czyli $A$ to przeciwległy do $S$ wierzchołek kwadratu o boku $2$:

$$|SA| = 2\sqrt{2}.$$

Krok 2. Mały okrąg mieści się między wierzchołkiem a dużym okręgiem. Niech $E$ będzie punktem dużego okręgu leżącym na odcinku $SA$; wtedy $|SE| = 2\sqrt{2} - 2$. Mały okrąg jest styczny do dużego w punkcie $E$, więc jego średnica leży na odcinku $SE$. Nie sięga ona punktu $S$: środek $B$ jest odległy od $S$ o $r\sqrt{2}$, więc najbliższy punkt małego okręgu leży w odległości $r\sqrt{2} - r > 0$ od wierzchołka. Średnica $2r$ jest zatem krótsza od $SE$:

$$2r < 2\sqrt{2} - 2 \quad\Longrightarrow\quad r < \sqrt{2} - 1.$$

To kończy uzasadnienie.

Sprawdzenie - dokładna wartość. Analogicznie $|SB| = r\sqrt{2}$, a $|SA| = |SB| + |BA|$, gdzie $|BA| = r + 2$ (okręgi styczne zewnętrznie):

$$2\sqrt{2} = r\sqrt{2} + r + 2 \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{2\left(\sqrt{2} - 1\right)}{\sqrt{2} + 1} = 2\left(\sqrt{2} - 1\right)^2 = 6 - 4\sqrt{2} \approx 0{,}343.$$

To rzeczywiście mniej niż $\sqrt{2} - 1 \approx 0{,}414$. Przy tej drodze wynik $r = 6 - 4\sqrt{2}$ trzeba jeszcze porównać z $\sqrt{2} - 1$ dokładnym rachunkiem (np. $6 - 4\sqrt{2} < \sqrt{2} - 1 \Longleftrightarrow 7 < 5\sqrt{2} \Longleftrightarrow 49 < 50$), a nie „na oko” z przybliżeń.

Odpowiedź: $r = 6 - 4\sqrt{2} < \sqrt{2} - 1$. Zobacz: okrąg wpisany oraz dwa okręgi.

Krok 1. Podstawa. $f(2) = a^2 = 9$, a ponieważ $a > 0$, to $a = 3$ (rozwiązanie $a = -3$ odrzucamy).

Krok 2. Zbiór wartości. Funkcja $f(x) = 3^x$ przyjmuje wszystkie wartości dodatnie: $(0, +\infty)$. Wykres $g(x) = f(x) - 2$ to wykres $f$ przesunięty o $2$ w dół, więc zbiór wartości też przesuwa się o $2$:

$$ZW_g = (-2, +\infty).$$

Pułapka: liczba $-2$ nie należy do zbioru wartości (przedział jest otwarty), bo $3^x$ nigdy nie jest równe $0$.

Odpowiedź: $a = 3$, zbiór wartości funkcji $g$ to $(-2, +\infty)$. Zobacz: przekształcenia wykresów funkcji wykładniczej oraz zadania z funkcji wykładniczej.

Wzór na sumę $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$ od razu wiąże $a_1$ z danymi:

$$162 = \frac{a_1 + 30}{2} \cdot 12 = 6(a_1 + 30) \quad\Longrightarrow\quad a_1 + 30 = 27 \quad\Longrightarrow\quad a_1 = -3.$$

Sprawdzenie: $a_{12} = a_1 + 11r$ daje $-3 + 11r = 30$, czyli $r = 3$, a suma $\frac{-3 + 30}{2} \cdot 12 = 162$.

Odpowiedź: $a_1 = -3$. Zobacz: suma ciągu arytmetycznego.

Krok 1. Prosta $AB$. Współczynnik kierunkowy: $\frac{5 - 3}{10 - 4} = \frac{1}{3}$.

Krok 2. Prosta $BC$. Kąt prosty jest przy wierzchołku $B$, więc prosta $BC$ jest prostopadła do $AB$ i przechodzi przez $B$. Jej współczynnik kierunkowy to $-3$:

$$y = -3(x - 10) + 5 = -3x + 35.$$

Pułapka: kąt $ABC$ ma wierzchołek w $B$ - prostopadłą prowadzimy przez $B$, nie przez $A$.

Krok 3. Punkt $C$ to przecięcie prostej $BC$ z prostą $y = 2x + 3$:

$$2x + 3 = -3x + 35 \quad\Longrightarrow\quad 5x = 32 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{32}{5}, \qquad y = 2 \cdot \frac{32}{5} + 3 = \frac{79}{5}.$$

Krok 4. Sprawdzenie iloczynem skalarnym. $\overrightarrow{BA} = [-6, -2]$, $\overrightarrow{BC} = \left[-\frac{18}{5}, \frac{54}{5}\right]$, a $(-6) \cdot \left(-\frac{18}{5}\right) + (-2) \cdot \frac{54}{5} = \frac{108}{5} - \frac{108}{5} = 0$ - wektory są prostopadłe.

Odpowiedź: $C = \left(\frac{32}{5}, \frac{79}{5}\right)$. Zobacz: równanie kierunkowe prostej oraz zadania z geometrii analitycznej.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Losujemy parę (liczba z $A$, liczba z $B$): $|\Omega| = 7 \cdot 7 = 49$.

Krok 2. Reszty z dzielenia przez 3. Suma dzieli się przez $3$, gdy reszty składników sumują się do wielokrotności $3$. Reszty:

• w zbiorze $A$: reszta $0$ - liczby $300, 600$ (dwie); reszta $1$ - $100, 400, 700$ (trzy); reszta $2$ - $200, 500$ (dwie),
• w zbiorze $B$: reszta $0$ - $12, 15$ (dwie); reszta $1$ - $10, 13, 16$ (trzy); reszta $2$ - $11, 14$ (dwie).

Krok 3. Pary sprzyjające: reszty $(0, 0)$, $(1, 2)$ albo $(2, 1)$:

$$|D| = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 + 2 \cdot 3 = 4 + 6 + 6 = 16.$$

Krok 4. Prawdopodobieństwo:

$$P(D) = \frac{16}{49}.$$

Pułapka: odpowiedź $\frac{1}{3}$ („co trzecia suma dzieli się przez $3$”) nie jest prawdziwa, bo reszty nie są rozłożone równomiernie - reszta $1$ występuje w każdym zbiorze trzy razy.

Odpowiedź: $P = \frac{16}{49}$. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z rachunku prawdopodobieństwa.

Niech $a$ będzie krawędzią podstawy, a $h$ - wysokością graniastosłupa.

Krok 1. Zależność między $a$ i $h$. Podstawa to trójkąt równoboczny, ściana boczna - prostokąt $a \times h$:

$$\frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a \cdot h \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{a\sqrt{3}}{4}.$$

Krok 2. Pole całkowite. Dwie podstawy i trzy ściany boczne - a każda ściana boczna ma pole równe polu podstawy, więc pole całkowite to pięć pól podstawy:

$$5 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 45\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 36 \quad\Longrightarrow\quad a = 6.$$

Stąd $h = \frac{6\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$, a pole podstawy $P_p = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3}$.

Krok 3. Objętość:

$$V = P_p \cdot h = 9\sqrt{3} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{81}{2}.$$

Odpowiedź: $V = \frac{81}{2} = 40{,}5$. Zobacz: graniastosłupy oraz zadania z graniastosłupów i ostrosłupów.