Matura 2019 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

Szukamy wykładnika $x$, dla którego $\left(\sqrt{2}\right)^x = 2$. Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{1/2}$:

$$\left(2^{1/2}\right)^x = 2^1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = 2.$$

Sprawdzenie: $\left(\sqrt{2}\right)^2 = 2$. Pułapka to odpowiedź D - to $\log_2 \sqrt{2}$, czyli logarytm „odwrócony”: zamieniona podstawa z liczbą logarytmowaną.

Odpowiedź: A. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z logarytmów.

Łączymy w pary dwójki z piątkami, bo $2 \cdot 5 = 10$. Czternaście dwójek „zużywa” czternaście piątek i zostaje jedna piątka:

$$n = 2^{14} \cdot 5^{14} \cdot 5 = 10^{14} \cdot 5 = 500\,000\,000\,000\,000.$$

To piątka i czternaście zer, czyli $15$ cyfr. Liczba cyfr nie wynika z sumy wykładników ($14 + 15 = 29$) - liczy się to, jaką potęgą dziesiątki jest iloczyn.

Odpowiedź: B. Zobacz: potęga o wykładniku naturalnym oraz zadania z potęg.

Prowizja spadła z $4\%$ do $3\%$, czyli o $1$ punkt procentowy. Pytanie dotyczy jednak zmiany procentowej - o jaką część dawnej wartości spadła prowizja:

$$\frac{4 - 3}{4} = \frac{1}{4} = 25\%.$$

Pułapka to odpowiedź A: „$1\%$” myli punkty procentowe z procentami. Odpowiedź D ($75\%$) to stosunek nowej prowizji do starej, a nie spadek.

Odpowiedź: B. Zobacz: punkty procentowe oraz zadania z procentów.

Dodajemy dwa znane ułamki: $\frac{1}{4} + \frac{1}{5} = \frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$. Stąd

$$\frac{1}{a} = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20} \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{20}{11}.$$

Pułapka to odpowiedź A - to wartość $\frac{1}{a}$, a nie $a$. Trzeba jeszcze odwrócić ułamek.

Odpowiedź: D. Zobacz: równania - przypomnienie.

Podstawiamy $x = 2$, $y = 2$ do obu równań:

$$2a + 2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = 1, \qquad -4 + 6 = 2a \quad\Longrightarrow\quad a = 1.$$

Oba równania dają tę samą wartość, więc dla $a = 1$ para $(2, 2)$ rzeczywiście spełnia układ. Warto sprawdzić oba równania - gdyby dawały różne $a$, żadna wartość nie byłaby dobra.

Odpowiedź: B. Zobacz: układ równań z dwiema niewiadomymi.

Dziedzina. Mianownik nie może być zerem, więc $x \ne 3$.

Licznik. Ułamek jest równy zeru, gdy zeruje się licznik: $(x - 1)(x + 2) = 0$, czyli $x = 1$ lub $x = -2$. Obie liczby należą do dziedziny.

Pułapka to odpowiedź A: $x = 3$ zeruje mianownik, a dzielenia przez zero nie ma - to nie jest rozwiązanie. Odpowiedzi B i D mają zmienione znaki (z czynnika $x - 1$ odczytano $-1$ zamiast $1$).

Odpowiedź: C. Zobacz: równania wymierne.

Rozwiązujemy równanie $f(x) = 0$:

$$3(x + 1) = 6\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x + 1 = 2\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad x = 2\sqrt{3} - 1.$$

Odpowiedź D wychodzi, gdy nawias $3(x + 1)$ wymnoży się błędnie jako $3x + 1$.

Odpowiedź: C. Zobacz: funkcja liniowa - wykres i miejsce zerowe oraz zadania o miejscu zerowym.

Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc najmniejszą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku: $f(2) = -4$. Większe wartości przyjmuje dowolnie duże, więc zbiór wartości to $\langle -4, +\infty)$. Zbiór wartości odczytujemy z drugiej współrzędnej wierzchołka - odpowiedź B miesza go z przedziałem między miejscami zerowymi na osi $x$.

Odpowiedź: C. Zobacz: zbiór wartości funkcji.

Z miejsc zerowych i wierzchołka: $f(x) = x(x - 4)$ (wtedy $f(2) = 2 \cdot (-2) = -4$ - zgadza się). Wierzchołek $x = 2$ leży w przedziale $\langle 1, 4\rangle$ i daje najmniejszą wartość. Największej szukamy na końcach przedziału:

$$f(1) = 1 \cdot (-3) = -3, \qquad f(4) = 4 \cdot 0 = 0.$$

Większa z nich to $0$. Pułapka to A ($-3$) - wartość tylko na lewym końcu; C ($4$) to odcięta, nie wartość.

Odpowiedź: D. Zobacz: wartości funkcji kwadratowej w przedziale oraz zadania z wartości w przedziale.

Oś symetrii paraboli to pionowa prosta przez wierzchołek, czyli $x = 2$ (leży też w połowie między miejscami zerowymi $0$ i $4$). Proste $y = \ldots$ są poziome - nie mogą być osią symetrii paraboli o pionowej osi.

Odpowiedź: D. Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Znamy pierwszy i ostatni z sumowanych wyrazów, więc różnica ciągu nie jest potrzebna:

$$S_8 = \frac{a_1 + a_8}{2} \cdot 8 = \frac{7 + (-49)}{2} \cdot 8 = -21 \cdot 8 = -168.$$

Odpowiedź C ($-21$) to sama średnia $\frac{a_1 + a_8}{2}$ bez pomnożenia przez liczbę wyrazów.

Odpowiedź: A. Zobacz: suma ciągu arytmetycznego oraz zadania z sumy ciągu arytmetycznego.

Od $a_3$ do $a_5$ są dwa kroki, więc $a_5 = a_3 \cdot q^2$, czyli $q^2 = \frac{1}{9}$. Stąd $q = \frac{1}{3}$ lub $q = -\frac{1}{3}$. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc iloraz musi być dodatni: $q = \frac{1}{3}$.

Odpowiedzi C i D dają iloraz większy od $1$ - wtedy wyrazy rosną i $a_5 > a_3$, wbrew warunkowi. Odpowiedź B też go nie spełnia: $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3} \ne \frac{1}{9}$.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania z ciągu geometrycznego.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}.$$

Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni: $\cos\alpha = \frac{3}{5}$. Pułapka to odpowiedź C - to $\cos^2\alpha$, nie $\cos\alpha$. Odpowiedź A odpada od razu, bo cosinus nie przekracza $1$, a B powstaje z odjęcia $1 - \frac{4}{5}$ bez podnoszenia do kwadratu.

Odpowiedź: D. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania o związkach między funkcjami.

Krok 1. Ten sam łuk. Kąty wpisane $DEB$ i $DCB$ są oparte na tym samym łuku $DB$, więc są równe: $\alpha = |\angle DCB|$.

Krok 2. Kąt $DCB$. Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym leży na jego wysokościach, a wysokość z wierzchołka $C$ jest też dwusieczną kąta $ACB$. Średnica $CD$ przechodzi przez środek okręgu, więc leży na tej dwusiecznej:

$$|\angle DCB| = \frac{60°}{2} = 30°.$$

Położenie punktu $E$ nie ma znaczenia - każdy kąt wpisany oparty na łuku $DB$ ma $30°$.

Odpowiedź: A. Zobacz: koła i kąty oraz zadania z kątów w okręgu.

Krok 1. Kąty proste. Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej: $OA \perp AB$ i $PB \perp AB$.

Krok 2. Trójkąty podobne. Trójkąty $OAK$ i $PBK$ są prostokątne i mają równe kąty wierzchołkowe przy $K$, więc są podobne (cecha kąt-kąt). Stosunek odpowiednich boków jest stały:

$$\frac{|OK|}{|PK|} = \frac{|OA|}{|PB|} = \frac{5}{3}.$$

Krok 3. Podział odcinka. $|OK| + |PK| = 16$, więc $|OK| = \frac{5}{8} \cdot 16 = 10$ i $|PK| = 6$.

Pułapka to odpowiedź A - to długość $|PK|$, czyli odcinka przy mniejszym okręgu.

Odpowiedź: C. Zobacz: podobieństwo trójkątów oraz styczna i sieczna.

Romb to równoległobok, więc jego pole to iloczyn dwóch boków i sinusa kąta między nimi:

$$P = a^2 \sin 150° = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8.$$

Pułapka to odpowiedź C - wynik z $\sin 60°$ albo $\cos 30°$ zamiast $\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$. Odpowiedź D to pole kwadratu o boku $4$.

Odpowiedź: A. Zobacz: pole prostokąta i równoległoboku oraz zadania z równoległoboku i rombu.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe (wyrazy wolne $-2019$ i $2019$ są różne, więc proste się nie pokrywają):

$$2m + 2 = 3m - 3 \quad\Longrightarrow\quad m = 5.$$

Sprawdzenie: oba współczynniki są wtedy równe $12$.

Odpowiedź: D. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania o prostych równoległych.

Krok 1. Współczynnik kierunkowy. Dla prostych prostopadłych $a \cdot (-4) = -1$, czyli $a = \frac{1}{4}$. Odpadają A i C - tam $a = -4$, czyli prosta równoległa.

Krok 2. Wyraz wolny. Punkt $P$ leży na prostej:

$$0 = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} + b \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{1}{8}.$$

Odpowiedź D podaje jako $b$ samą odciętą punktu $P$.

Odpowiedź: B. Zobacz: zadania o prostych prostopadłych.

Krok 1. Wzór $f$. Współczynnik kierunkowy $\frac{2 - 4}{2 - 0} = -1$, wyraz wolny $4$: $f(x) = -x + 4$.

Krok 2. Symetria środkowa. W symetrii względem punktu $(0, 0)$ punkt $(x, y)$ przechodzi na $(-x, -y)$, więc $g(x) = -f(-x)$:

$$g(x) = -\big(-(-x) + 4\big) = -(x + 4) = -x - 4.$$

Kontrola na punktach: obrazy $A' = (0, -4)$ i $B' = (-2, -2)$ leżą na prostej $y = -x - 4$. Symetria względem początku układu zachowuje kierunek prostej (współczynnik $-1$ zostaje), a zmienia znak wyrazu wolnego. Odpowiedź A to obraz w symetrii względem osi $Oy$, B - względem osi $Ox$, D - sama funkcja $f$.

Odpowiedź: C. Zobacz: symetria środkowa wykresu.

Średnica okręgu wpisanego w kwadrat jest równa bokowi kwadratu, więc wystarczy długość odcinka $AB$:

$$|AB| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt{2}.$$

Pułapka to odpowiedź B - tyle wynosi każda z różnic współrzędnych osobno, a nie odległość punktów.

Odpowiedź: C. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych oraz okrąg wpisany.

Przekątna prostopadłościanu o krawędziach $a$, $b$, $c$ ma długość $\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$:

$$|KL| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{38} \approx 6{,}164.$$

Po zaokrągleniu $6{,}16$ dm. Pozostałe odpowiedzi to przekątne ścian: $\sqrt{34} \approx 5{,}83$ (ściana $5 \times 3$), $\sqrt{13} \approx 3{,}61$ (ściana $3 \times 2$) i $\sqrt{29} \approx 5{,}39$ (ściana $5 \times 2$) - typowy błąd to policzenie tylko dwóch wymiarów.

Odpowiedź: B. Zobacz: graniastosłupy oraz zadania z graniastosłupów.

Pole kuli: $4\pi r^2 = 4\pi \cdot 16 = 64\pi$. Pole całkowite stożka to podstawa plus powierzchnia boczna: $\pi r^2 + \pi r l = 16\pi + 4\pi l$. Przyrównujemy:

$$16\pi + 4\pi l = 64\pi \quad\Longrightarrow\quad 4l = 48 \quad\Longrightarrow\quad l = 12.$$

Pułapka to odpowiedź C ($16$) - wynik przy pominięciu pola podstawy (wtedy $4\pi l = 64\pi$).

Odpowiedź: D. Zobacz: stożek i kula i sfera oraz zadania ze stożka.

Porządkujemy znane liczby: $4, 8, 16, 21, 25$. Przy sześciu danych mediana to średnia trzeciej i czwartej liczby w uporządkowanym zestawie. Gdyby $a \le 8$, środkowe byłyby $8$ i $16$ - mediana $12$; gdyby $a \ge 16$, środkowe byłyby $16$ i co najmniej $16$ - mediana co najmniej $16$. Mediana $14$ wymaga więc $8 < a < 16$ i wtedy środkowe liczby to $a$ i $16$:

$$\frac{a + 16}{2} = 14 \quad\Longrightarrow\quad a = 12.$$

Sprawdzenie: $4, 8, 12, 16, 21, 25$ - mediana $\frac{12 + 16}{2} = 14$. Pułapka to odpowiedź C - założenie, że $a$ jest równe medianie, a to prawda tylko przy nieparzystej liczbie danych.

Odpowiedź: B. Zobacz: mediana, moda i skala centylowa oraz zadania z mediany.

Reguła mnożenia: na pierwszym miejscu nie może stać zero, więc są $2$ możliwości ($2$ lub $5$), a na każdym z czterech pozostałych - $3$ możliwości:

$$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 81 = 162.$$

Pułapka to odpowiedź D ($3^5 = 243$) - liczy też „liczby” zaczynające się od zera, które nie są pięciocyfrowe.

Odpowiedź: C. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z reguły mnożenia.

Kul czerwonych jest $40 - 35 = 5$. Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

$$P = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}.$$

Odpowiedź B ($\frac{1}{5}$) wychodzi, gdy liczbę kul czerwonych wstawi się do mianownika zamiast do licznika; C i D dzielą jedynkę przez liczbę kul, zamiast liczyć kule sprzyjające.

Odpowiedź: A. Zobacz: definicja prawdopodobieństwa oraz zadania z prawdopodobieństwa klasycznego.

Iloczyn jest równy zeru, gdy jeden z czynników jest zerem.

Czynnik pierwszy. $x^3 - 8 = 0$, czyli $x^3 = 8$ i $x = 2$ (sześcian ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty).

Czynnik drugi. $x^2 - 4x - 5 = 0$:

$$\Delta = 16 + 20 = 36, \qquad x = \frac{4 - 6}{2} = -1, \qquad x = \frac{4 + 6}{2} = 5.$$

Typowy błąd to dopisanie $x = -2$ z czynnika $x^3 - 8$ (jak przy $x^2 = 4$) - ale $(-2)^3 = -8 \ne 8$.

Odpowiedź: $x = -1$, $x = 2$, $x = 5$. Zobacz: równania wielomianowe oraz zadania z równań wielomianowych.

Krok 1. Pierwiastki trójmianu.

$$\Delta = 256 - 192 = 64, \qquad x_1 = \frac{16 - 8}{6} = \frac{4}{3}, \qquad x_2 = \frac{16 + 8}{6} = 4.$$

Krok 2. Szkic. Współczynnik przy $x^2$ jest dodatni, więc parabola ma ramiona w górę i leży nad osią $Ox$ na zewnątrz przedziału między pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce nie należą do rozwiązania.

Odpowiedź: $x \in \left(-\infty, \frac{4}{3}\right) \cup (4, +\infty)$. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z nierówności kwadratowych.

Krok 1. Rozbijamy wyrażenie. Wyraz $-2ab$ pasuje do wzoru $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2.$$

Krok 2. Wniosek. Każdy z trzech składników jest kwadratem pomnożonym przez liczbę dodatnią, więc jest nieujemny. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna, czyli $3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0$ dla dowolnych $a$, $b$. Równość zachodzi tylko dla $a = b = 0$. To kończy dowód.

Sprawdzenie liczbami na kilku przykładach nie jest dowodem - zasady oceniania nie dają za nie punktów.

Odpowiedź: $3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2 \ge 0$. Zobacz: dowodzenie nierówności - zadania.

Krok 1. Trójkąt $BCS$. $|BC| = r = |BS|$, więc trójkąt $BCS$ jest równoramienny i kąty przy podstawie $CS$ są równe: $|\angle BSC| = |\angle BCS| = \alpha$.

Krok 2. Kąt $ABS$. Kąt $ABS$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $BCS$ przy wierzchołku $B$, więc jest równy sumie dwóch kątów wewnętrznych do niego nieprzyległych:

$$|\angle ABS| = \alpha + \alpha = 2\alpha.$$

Krok 3. Trójkąt $ABS$. $|SA| = |SB| = r$, więc trójkąt $ABS$ też jest równoramienny: $|\angle SAB| = |\angle SBA| = 2\alpha$.

Krok 4. Kąt $ASD$. Punkty $C$, $S$, $D$ leżą na jednej prostej, więc kąt $ASD$ jest kątem zewnętrznym trójkąta $ACS$ przy wierzchołku $S$:

$$|\angle ASD| = |\angle SAC| + |\angle SCA| = 2\alpha + \alpha = 3\alpha.$$

To kończy dowód.

Odpowiedź: $|\angle ASD| = 3\alpha$ - z dwóch trójkątów równoramiennych i twierdzenia o kącie zewnętrznym. Zobacz: koła i kąty.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Losowanie ze zwracaniem daje pary uporządkowane: $|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25$.

Krok 2. Wyniki sprzyjające. Iloczyn jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Liczb nieparzystych w zbiorze jest trzy ($1, 3, 5$), więc $|A| = 3 \cdot 3 = 9$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$$P(A) = \frac{9}{25}.$$

Pułapka: wystarczy jedna liczba parzysta, żeby iloczyn był parzysty - więc „co najmniej jedna nieparzysta” to za mało.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{9}{25}$. Zobacz: doświadczenia wieloetapowe oraz zadania z prawdopodobieństwa klasycznego.

Krok 1. Wysokość trapezu. Trójkąt $ADC$ jest prostokątny (kąt prosty przy $D$, bo ramię $AD$ jest prostopadłe do podstaw). Bok $AD$ leży naprzeciw kąta $30°$, więc

$$|AD| = |AC| \cdot \sin 30° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.$$

Krok 2. Przekątna $BD$. Trójkąt $ABD$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$, przyprostokątne to $|AB| = 8$ i $|AD| = 2$. Z twierdzenia Pitagorasa:

$$|BD| = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}.$$

Długość krótszej podstawy ($|DC| = 4\cos 30° = 2\sqrt{3}$) nie jest potrzebna. Częsty błąd to wzięcie $\cos 30°$ zamiast $\sin 30°$ przy liczeniu wysokości.

Odpowiedź: $|BD| = 2\sqrt{17}$. Zobacz: twierdzenie Pitagorasa oraz zadania z trapezów.

Krok 1. Suma sześciu wyrazów. Średnia $16$ z sześciu wyrazów oznacza sumę $S_6 = 6 \cdot 16 = 96$.

Krok 2. Pierwszy wyraz. Ze wzoru na sumę ciągu arytmetycznego:

$$S_6 = \frac{2a_1 + 5r}{2} \cdot 6 = 3(2a_1 - 20) = 96 \quad\Longrightarrow\quad 2a_1 - 20 = 32 \quad\Longrightarrow\quad a_1 = 26.$$

Sprawdzenie: wyrazy $26, 22, 18, 14, 10, 6$ mają sumę $96$, a średnią $16$.

Krok 3. Numer wyrazu. Ze wzoru ogólnego $a_k = a_1 + (k - 1)r$:

$$26 - 4(k - 1) = -78 \quad\Longrightarrow\quad 4(k - 1) = 104 \quad\Longrightarrow\quad k = 27.$$

Wynik jest liczbą naturalną, więc taki wyraz istnieje. Częsty błąd to przyrównanie średniej $16$ od razu do $S_6$ albo zapis $a_k = a_1 + kr$ (wtedy wychodzi $k = 26$).

Odpowiedź: a) $a_1 = 26$, b) $k = 27$. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągu arytmetycznego.

Symetralna odcinka $AB$ jest do niego prostopadła i przechodzi przez jego środek. Punkt $B$ jest więc obrazem $A$ w symetrii względem prostej $y = 3x$.

Krok 1. Prosta $AB$. Jest prostopadła do $y = 3x$, więc ma współczynnik kierunkowy $-\frac{1}{3}$. Przechodzi przez $A$:

$$10 = -\frac{1}{3} \cdot (-18) + b \quad\Longrightarrow\quad b = 4, \qquad y = -\frac{1}{3}x + 4.$$

Krok 2. Środek $S$ odcinka $AB$ to punkt przecięcia obu prostych:

$$3x = -\frac{1}{3}x + 4 \quad\Longrightarrow\quad \frac{10}{3}x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{6}{5}, \quad y = \frac{18}{5}.$$

Krok 3. Punkt $B$. Środek odcinka to średnia współrzędnych końców, więc $B = 2S - A$:

$$x_B = 2 \cdot \frac{6}{5} + 18 = \frac{102}{5}, \qquad y_B = 2 \cdot \frac{18}{5} - 10 = -\frac{14}{5}.$$

Kontrola. Odległości od środka: $|SA|^2 = \left(\frac{96}{5}\right)^2 + \left(\frac{32}{5}\right)^2$ i $|SB|^2 = \left(\frac{96}{5}\right)^2 + \left(\frac{32}{5}\right)^2$ - równe. Częsty błąd to podanie punktu $S$ jako odpowiedzi albo odjęcie w złą stronę ($B = A - S$).

Odpowiedź: $B = \left(\frac{102}{5}, -\frac{14}{5}\right)$. Zobacz: równanie kierunkowe prostej oraz zadania z rzutu i symetrii.

Krok 1. Pole jednej ściany bocznej. Pole podstawy to $6^2 = 36$, więc pole całkowite to $4 \cdot 36 = 144$, a pole boczne $144 - 36 = 108$. Ostrosłup ma cztery przystające ściany boczne: każda ma pole $27$.

Krok 2. Wysokość ściany bocznej. Ściana to trójkąt równoramienny o podstawie $6$:

$$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 27 \quad\Longrightarrow\quad h = 9.$$

Krok 3. Krawędź boczna. Wysokość ściany dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne z przyprostokątnymi $3$ i $9$, a przeciwprostokątną jest krawędź boczna:

$$|AS| = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}.$$

Krok 4. Cosinus kąta. Kąt $\alpha$ leży w trójkącie prostokątnym $AOS$, gdzie $O$ to środek podstawy, a $|AO|$ to połowa przekątnej kwadratu: $|AO| = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$. Zatem

$$\cos\alpha = \frac{|AO|}{|AS|} = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}.$$

Pułapki: w kroku 1 łatwo uznać, że to pole boczne jest $4 \cdot 36$ (wtedy $h = 12$); w kroku 4 - wziąć połowę boku ($3$) zamiast połowy przekątnej, co daje cosinus kąta ściany bocznej z krawędzią podstawy, a nie kąta nachylenia krawędzi do podstawy.

Odpowiedź: $\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Zobacz: kąt między prostą a płaszczyzną oraz zadania z kąta między prostą a płaszczyzną.