Matura 2015 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

To nierówność podwójna - dodajemy $1$ do wszystkich trzech jej części:

$$-4 + 1 \le x \le 4 + 1 \quad\Longleftrightarrow\quad -3 \le x \le 5.$$

Zbiór rozwiązań to przedział domknięty $[-3, 5]$, więc oba końce są zamalowane. Rysunek A i D powstają, gdy zamiast dodać $1$ - odejmiemy ją (wychodzi $[-5, 3]$), a B ma puste kółka, czyli przedział otwarty $(-3, 5)$, choć w nierówności są znaki $\le$.

Odpowiedź: C. Zobacz: przedziały liczbowe.

Krok 1. Logarytmy. Z definicji: $\log_{\frac{1}{4}} 64 = b$ oznacza $\left(\frac{1}{4}\right)^b = 64$, czyli $4^{-b} = 4^3$, więc $b = -3$. Tak samo $\left(\frac{1}{3}\right)^c = 27 = 3^3$ daje $c = -3$.

Krok 2. Iloczyn.

$$abc = -\frac{1}{27} \cdot (-3) \cdot (-3) = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}.$$

Pułapka: przy podstawie mniejszej od $1$ logarytm liczby większej od $1$ jest ujemny. Kto zgubi minus w $b$ lub $c$, dostaje $\frac{1}{3}$ (odpowiedź C).

Odpowiedź: B. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z logarytmów.

Odsetki przed podatkiem to $1000 \cdot \frac{4}{100} = 40$ zł. Podatek zabiera $19\%$ odsetek, więc zostaje $81\%$ z nich:

$$1000 + \frac{81}{100} \cdot 1000 \cdot \frac{4}{100} = 1000 \cdot \left(1 + \frac{81}{100} \cdot \frac{4}{100}\right) = 1032{,}40 \text{ zł}.$$

Odpowiedź B dodaje do wkładu sam podatek zamiast odsetek po podatku; A i D odejmują coś od wkładu, a lokata kwoty nie zmniejsza.

Odpowiedź: C. Zobacz: procenty oraz zadania z procentów.

Mnożymy obie strony przez $5 - \sqrt{5}$ i korzystamy ze wzoru $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$:

$$m = \frac{(5 + \sqrt{5})(5 - \sqrt{5})}{5} = \frac{25 - 5}{5} = \frac{20}{5} = 4.$$

Odpowiedź: B. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania z pierwiastków.

Każde równanie opisuje prostą: $y = x - 3$ (współczynnik kierunkowy $1$) oraz $y = -4x + 8$ (współczynnik $-4$). Współczynniki kierunkowe są różne, więc proste nie są równoległe i przecinają się w jednym punkcie. Rzeczywiście: $x - 3 = -4x + 8$ daje $x = \frac{11}{5}$, $y = -\frac{4}{5}$.

Dwie proste nigdy nie mają dokładnie dwóch punktów wspólnych - odpowiedź C odpada od razu.

Odpowiedź: B. Zobacz: graficzne rozwiązywanie układów równań.

Iloczyn jest równy zero, gdy któryś czynnik jest zerem: $x = -3$, $x = -7$ lub $x = 11$. Suma:

$$-3 + (-7) + 11 = 1.$$

Pułapka: odpowiedź $-1$ to suma liczb $3 + 7 - 11$ odczytanych wprost z nawiasów - pierwiastki mają przeciwne znaki.

Odpowiedź: C. Zobacz: równania wielomianowe.

Dziedzina: $x \ne -1$. Mnożymy obie strony przez $x + 1$:

$$x - 1 = (x - 1)(x + 1) \quad\Longleftrightarrow\quad (x - 1)(x + 1) - (x - 1) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x - 1) \cdot x = 0.$$

Stąd $x = 1$ lub $x = 0$ - obie liczby należą do dziedziny. Najczęstszy błąd to podzielenie obu stron przez $x - 1$: gubi się wtedy rozwiązanie $x = 1$ i wychodzi odpowiedź B.

Odpowiedź: D. Zobacz: równania wymierne.

Zbiór wartości odczytujemy z osi $Oy$ - patrzymy, na jakiej wysokości leżą punkty wykresu.

• Góra: wartość $2$ jest przyjmowana - kółko w $(0, 2)$ jest puste, ale cały poziomy odcinek od $x = 0$ do $x = 1$ leży na wysokości $2$, a punkt $(1, 2)$ należy do wykresu. Więc $2$ należy do zbioru wartości.
• Dół: wartość $-2$ pojawia się tylko w pustym kółku $(0, -2)$, więc nie jest przyjmowana; wartości dowolnie bliskie $-2$ (z góry) - tak.
• Między nimi wykres przechodzi przez wszystkie wysokości.

Zbiór wartości to $(-2, 2]$. Kto patrzy tylko na puste kółka, wybiera $(-2, 2)$ - pułapka A.

Odpowiedź: D. Zobacz: zbiór wartości funkcji.

Podstawiamy współrzędne punktu $S$: $f(5) = -2$, czyli

$$(m - 1) \cdot 5 + 3 = -2 \quad\Longrightarrow\quad 5(m - 1) = -5 \quad\Longrightarrow\quad m - 1 = -1 \quad\Longrightarrow\quad m = 0.$$

Odpowiedź: B. Zobacz: wykres i miejsce zerowe funkcji liniowej oraz zadania z funkcji liniowej.

Miejsce zerowe $g$: $-3x + 4 = 0$, więc $x = \frac{4}{3}$. Ta liczba ma być też miejscem zerowym $f$:

$$2 \cdot \frac{4}{3} + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{8}{3}.$$

Odpowiedź D to samo miejsce zerowe - łatwo ją zaznaczyć, nie robiąc drugiego kroku.

Odpowiedź: C. Zobacz: miejsce zerowe funkcji liniowej.

Krok 1. $f(3) = 9 + 3 + c = 12 + c = 4$, więc $c = -8$.

Krok 2. $f(1) = 1 + 1 - 8 = -6$.

Odpowiedź: A. Zobacz: wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej.

Mnożymy wszystkie części przez $14$ (liczba dodatnia - znaki się nie zmieniają):

$$4 < x < \frac{56}{3} = 18\tfrac{2}{3}.$$

Liczby całkowite z tego przedziału to $5, 6, \ldots, 18$ - jest ich $18 - 5 + 1 = 14$. Nierówności są ostre, więc $4$ nie należy do rozwiązań; kto ją doliczy, dostaje $15$ (pułapka B).

Odpowiedź: A. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Z wzoru na wyraz ogólny $a_4 = a_1 q^3$, więc $a_1 q^3 = 3a_1$. Ciąg jest rosnący, więc $a_1 \ne 0$ i możemy podzielić:

$$q^3 = 3 \quad\Longrightarrow\quad q = \sqrt[3]{3}.$$

Pułapka D: $q = 3$ dałoby $a_4 = 27a_1$ - wyraz czwarty jest o trzy kroki dalej niż pierwszy.

Odpowiedź: C. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania z ciągów.

Kąt $\alpha$ jest wyznaczony przez dodatnią półoś $Ox$ i półprostą przez $P = (x, y) = (-4, 5)$, więc z definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{y}{x} = \frac{5}{-4} = -\frac{5}{4}.$$

Pułapka B: $-\frac{4}{5}$ to odwrócony iloraz ($\frac{x}{y}$, czyli cotangens).

Odpowiedź: D. Zobacz: funkcje trygonometryczne dowolnego kąta oraz zadania z trygonometrii dowolnego kąta.

Zapisujemy tangens jako iloraz: $\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2\sin\alpha$. Dla kąta ostrego $\sin\alpha > 0$, więc dzielimy przez $\sin\alpha$:

$$\frac{1}{\cos\alpha} = 2 \quad\Longrightarrow\quad \cos\alpha = \frac{1}{2}.$$

To kąt $\alpha = 60^\circ$: $\operatorname{tg}60^\circ = \sqrt{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$. Odpowiedź D odpada, bo $\cos\alpha = 1$ tylko dla $\alpha = 0^\circ$, a kąt ma być większy od $0^\circ$.

Odpowiedź: A. Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z trygonometrii.

Kąt środkowy jest dwa razy większy od wpisanego opartego na tym samym łuku. Jeśli wpisany ma miarę $\beta$, to środkowy $2\beta$, a ich różnica to

$$2\beta - \beta = 20^\circ \quad\Longrightarrow\quad \beta = 20^\circ.$$

Kąt środkowy ma wtedy $40^\circ$ i rzeczywiście jest o $20^\circ$ większy.

Odpowiedź: C. Zobacz: kąty w kole.

Obwód $8$ oznacza bok $a = 2$. Pole rombu to $P = a^2 \sin\alpha$, więc

$$4\sin\alpha = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin\alpha = \frac{1}{4} = 0{,}25.$$

Z tablic: $\sin 14^\circ \approx 0{,}2419$ i $\sin 15^\circ \approx 0{,}2588$, a sinus rośnie dla kątów ostrych, więc $14^\circ < \alpha < 15^\circ$ (dokładniej $\alpha \approx 14{,}48^\circ$). Pułapka B bierze się ze wzoru na pole trójkąta $\frac{1}{2}a^2\sin\alpha$ zamiast pola rombu: wychodzi $\sin\alpha = \frac{1}{2}$, czyli $\alpha = 30^\circ$ - tuż obok przedziału B.

Odpowiedź: A. Zobacz: pole równoległoboku.

Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe:

$$m^2 = 4m - 4 \quad\Longleftrightarrow\quad m^2 - 4m + 4 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (m - 2)^2 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m = 2.$$

Wyrazy wolne ($3$ i $-3$) są różne, więc proste się nie pokrywają - są naprawdę równoległe.

Odpowiedź: A. Zobacz: równanie kierunkowe prostej.

Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe o iloczynie $-1$:

$$2m \cdot 4m^2 = -1 \quad\Longleftrightarrow\quad m^3 = -\frac{1}{8} \quad\Longleftrightarrow\quad m = -\frac{1}{2}.$$

Pułapka B: $m = \frac{1}{2}$ daje iloczyn $+1$, a nie $-1$.

Odpowiedź: A. Zobacz: współczynnik kierunkowy prostej.

Krok 1. Środek odcinka.

$$K = \left(\frac{-2 + (-1)}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, 2\right).$$

Krok 2. Symetria względem początku układu zmienia znaki obu współrzędnych: $K' = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$.

Odpowiedzi A i B mają zamienioną kolejność współrzędnych, C to obraz w symetrii względem osi $Oy$ (zmiana znaku tylko pierwszej współrzędnej).

Odpowiedź: D. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych oraz symetria środkowa.

Kąt między odcinkiem a płaszczyzną to kąt między tym odcinkiem a jego rzutem prostokątnym na tę płaszczyznę. Krawędź $HL$ jest prostopadła do podstawy, więc rzutem punktu $L$ jest $H$, a rzutem odcinka $OL$ - odcinek $OH$. Szukany kąt ma wierzchołek w $O$ i ramiona $OH$ oraz $OL$: to $\sphericalangle HOL$.

$\sphericalangle HLO$ (odpowiedź C) to kąt między $OL$ a krawędzią pionową - dopełnienie szukanego kąta do $90^\circ$. $\sphericalangle OHL$ jest prosty, a $\sphericalangle OGL$ ma wierzchołek w $G$ - to kąt między podstawą a odcinkiem $GL$, nie $OL$.

Odpowiedź: A. Zobacz: kąt między prostą a płaszczyzną.

Bok trójkąta równobocznego to średnica podstawy, więc $r = 3$. Wysokość stożka to wysokość trójkąta: $h = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$. Stąd

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}.$$

Pułapka A ($27\pi\sqrt{3}$) to wynik bez czynnika $\frac{1}{3}$ - czyli objętość walca.

Odpowiedź: B. Zobacz: stożek oraz zadania z brył obrotowych.

Dwie podstawy to trójkąty równoboczne o boku $8$, a ściany boczne - trzy kwadraty $8 \times 8$:

$$P = 2 \cdot \frac{8^2\sqrt{3}}{4} + 3 \cdot 8^2 = 8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} + 3\right).$$

Pole jednego trójkąta równobocznego to $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ - częsty błąd to zapomnienie o dzieleniu przez $4$.

Odpowiedź: D. Zobacz: siatka i pole powierzchni wielościanu oraz zadania z graniastosłupów i ostrosłupów.

Średnia pierwszego zestawu: $\frac{2 + 4 + 7 + 8 + 9}{5} = \frac{30}{5} = 6$. Dopisanie liczby nie zmienia średniej tylko wtedy, gdy ta liczba jest równa średniej. Formalnie:

$$\frac{30 + x}{6} = 6 \quad\Longrightarrow\quad x = 6.$$

Pułapka A: dopisanie zera zmienia średnią (dzielimy przez $6$ zamiast przez $5$: wychodzi $5$).

Odpowiedź: D. Zobacz: średnia z próby oraz zadania ze statystyki.

Wszystkich wyników jest $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ i są jednakowo prawdopodobne. Dokładnie dwie czerwone to wyniki CCN, CNC, NCC - trzy (wybieramy, z którego pojemnika pochodzi kula niebieska). Zatem

$$p = \frac{3}{8}.$$

Pułapka A ($\frac{1}{4}$) to prawdopodobieństwo, że czerwone będą kule z dwóch wskazanych pojemników - bez warunku na trzecią kulę i bez wyboru, które to pojemniki. Pułapka D liczy „dwie z trzech” jak $\frac{2}{3}$.

Odpowiedź: B. Zobacz: doświadczenia wieloetapowe oraz zadania z prawdopodobieństwa.

Krok 1. Porządkujemy. $(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$, więc

$$2x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 5x + 6 > 0.$$

Krok 2. Miejsca zerowe. $\Delta = 25 - 24 = 1$, więc $x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2$ oraz $x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$, czyli $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$.

Krok 3. Odczyt. Parabola ma ramiona skierowane w górę, więc wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych. Nierówność jest ostra, więc $2$ i $3$ nie należą do rozwiązania.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$. Zobacz: nierówności kwadratowe.

Krok 1. Rozbijamy $5y^2$ na $4y^2 + y^2$ - tak, żeby pierwsze trzy wyrazy dały kwadrat różnicy:

$$4x^2 - 8xy + 5y^2 = \left(4x^2 - 8xy + 4y^2\right) + y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2.$$

Krok 2. Wniosek. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc $(2x - 2y)^2 \ge 0$ oraz $y^2 \ge 0$. Suma dwóch liczb nieujemnych jest nieujemna, czyli $4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0$ dla wszystkich $x, y$. To kończy dowód.

(Równość zachodzi tylko dla $y = 0$ i $x = y$, czyli dla $x = y = 0$.)

Inny sposób: potraktować lewą stronę jak trójmian kwadratowy zmiennej $x$; jego wyróżnik $\Delta = 64y^2 - 80y^2 = -16y^2 \le 0$, a współczynnik przy $x^2$ jest dodatni.

Odpowiedź: dowód - $4x^2 - 8xy + 5y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2 \ge 0$. Zobacz: wzory skróconego mnożenia oraz zadania z wzorów skróconego mnożenia.

Krok 1. Oznaczenia. Niech $d$ będzie długością przekątnej kwadratu. Przekątne kwadratu są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy, więc $|AE| = |EC| = |BE| = |DE| = \frac{d}{2}$.

Krok 2. Przekątne czworokąta $KLMN$. Odcinek $KM$ leży na $AC$:

$$|KM| = |KE| + |EM| = \frac{d}{4} + \frac{d}{4} = \frac{d}{2}.$$

Odcinek $LN$ leży na $BD$; skoro $|BL| = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{2}$, to $|LE| = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{2} = \frac{d}{3}$, i tak samo $|EN| = \frac{d}{3}$. Zatem $|LN| = \frac{2d}{3}$.

Krok 3. Pole. Przekątne $KM$ i $LN$ są prostopadłe (leżą na przekątnych kwadratu), więc pole czworokąta $KLMN$ to połowa iloczynu przekątnych:

$$P_{KLMN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{2} \cdot \frac{2d}{3} = \frac{d^2}{6}.$$

Pole kwadratu to również połowa iloczynu jego przekątnych: $P_{ABCD} = \frac{d^2}{2}$. Stosunek:

$$\frac{P_{KLMN}}{P_{ABCD}} = \frac{d^2/6}{d^2/2} = \frac{1}{3}.$$

To kończy dowód. Wzór $P = \frac{1}{2}d_1 d_2$ działa dla każdego czworokąta o prostopadłych przekątnych - nie trzeba liczyć boków.

Odpowiedź: dowód - $P_{KLMN} = \frac{d^2}{6}$, $P_{ABCD} = \frac{d^2}{2}$, stosunek $1 : 3$. Zobacz: pole czworokąta - zadania.

Krok 1. Wierzchołek. $x_w = \frac{6}{2} = 3$ - należy do przedziału $[0, 4]$. Parabola ma ramiona w górę, więc w wierzchołku jest najmniejsza wartość: $f(3) = 9 - 18 + 3 = -6$.

Krok 2. Końce przedziału. Największa wartość jest na jednym z końców:

$$f(0) = 3, \qquad f(4) = 16 - 24 + 3 = -5.$$

Większa z nich to $f(0) = 3$. Częsty błąd: wziąć $f(4)$ tylko dlatego, że $4$ jest „większym” końcem - decyduje odległość od wierzchołka ($0$ leży od $3$ dalej niż $4$).

Odpowiedź: najmniejsza wartość $-6$ (dla $x = 3$), największa $3$ (dla $x = 0$). Zobacz: wartość najmniejsza i największa w przedziale.

Krok 1. Współczynnik kierunkowy.

$$a = \frac{19 - (-12)}{50 - (-43)} = \frac{31}{93} = \frac{1}{3}.$$

Krok 2. Równanie prostej przez $A$: $y + 12 = \frac{1}{3}(x + 43)$.

Krok 3. Punkt na osi $Ox$ ma $y = 0$: $12 = \frac{1}{3}(x + 43)$, więc $x + 43 = 36$ i $x = -7$.

Sprawdzenie punktem $B$: $\frac{1}{3}(50 + 7) = 19$ - zgadza się. Uwaga: pytanie dotyczy pierwszej współrzędnej - punkt to $P = (-7, 0)$, a nie $(0, -7)$.

Odpowiedź: $x = -7$. Zobacz: równanie kierunkowe prostej oraz zadania z geometrii analitycznej.

Krok 1. Układ równań. Niech ułamek to $\frac{x}{y}$, gdzie $x, y > 0$. Warunki zadania:

$$\frac{x + \frac{1}{2}x}{y + \frac{1}{2}x} = \frac{4}{7}, \qquad \frac{x + 1}{y + 1} = \frac{1}{2}.$$

Krok 2. Drugie równanie daje $2x + 2 = y + 1$, czyli $y = 2x + 1$.

Krok 3. Pierwsze równanie - mnożymy na krzyż: $7 \cdot \frac{3}{2}x = 4\left(y + \frac{1}{2}x\right)$, czyli $\frac{21}{2}x = 4y + 2x$, skąd $17x = 8y$. Podstawiamy $y = 2x + 1$:

$$17x = 16x + 8 \quad\Longrightarrow\quad x = 8, \qquad y = 17.$$

Krok 4. Sprawdzenie. $\frac{8 + 4}{17 + 4} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$ oraz $\frac{9}{18} = \frac{1}{2}$. Ułamek $\frac{8}{17}$ jest nieskracalny.

Odpowiedź: $\dfrac{8}{17}$. Zobacz: zastosowanie układów równań oraz zadania z układów równań.

Krok 1. Trójkąt prostokątny. Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy $d$ i wysokość $H = 16$ tworzą trójkąt prostokątny; kąt $\alpha$ leży między przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy. Z $\cos\alpha = \frac{3}{5}$ i jedynki trygonometrycznej: $\sin\alpha = \frac{4}{5}$, więc $\operatorname{tg}\alpha = \frac{4}{3}$.

Krok 2. Przekątna podstawy. $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{H}{d}$, więc

$$d = \frac{16}{\frac{4}{3}} = 12.$$

(Inaczej: przekątna graniastosłupa ma długość $\frac{16}{\sin\alpha} = 20$, a $d = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12$.)

Krok 3. Krawędź podstawy. Podstawa to kwadrat, więc $d = a\sqrt{2}$ i $a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}$.

Krok 4. Pole całkowite - dwa kwadraty i cztery prostokąty $a \times H$:

$$P_c = 2a^2 + 4aH = 2 \cdot 72 + 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 144 + 384\sqrt{2}.$$

Pułapka: wziąć $\frac{3}{5}$ jako tangens albo uznać $12$ za krawędź podstawy (zapomnieć, że to przekątna kwadratu).

Odpowiedź: $P_c = 144 + 384\sqrt{2} = 48\left(3 + 8\sqrt{2}\right)$. Zobacz: graniastosłupy oraz zadania z graniastosłupów i ostrosłupów.

Krok 1. Model. Losujemy jedną osobę spośród $115$ - wszystkie wybory są jednakowo prawdopodobne, $|\Omega| = 115$.

Krok 2. Ile osób kupiło jakikolwiek bilet. $27$ osób jest liczonych w obu wierszach tabeli, więc z zasady włączeń i wyłączeń:

$$|U \cup N| = 76 + 41 - 27 = 90.$$

Krok 3. Nikt z biletem. Żadnego biletu nie kupiło $115 - 90 = 25$ osób, więc

$$P(C) = \frac{25}{115} = \frac{5}{23}.$$

Pułapka: dodać $76 + 41 = 117$ (więcej niż ankietowanych!) i nie odjąć osób z obydwoma biletami.

Odpowiedź: $P = \dfrac{5}{23}$. Zobacz: zdarzenia i działania na zdarzeniach oraz zadania z prawdopodobieństwa.

Krok 1. Suma jedenastu wyrazów.

$$S_{11} = \frac{2a_1 + 10r}{2} \cdot 11 = 187 \quad\Longrightarrow\quad a_1 + 5r = 17.$$

Krok 2. Średnia trzech wyrazów. $a_1 + a_3 + a_9 = 36$, czyli $a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 8r) = 36$:

$$3a_1 + 10r = 36.$$

Krok 3. Układ. Z kroku 1: $a_1 = 17 - 5r$. Podstawiamy: $51 - 15r + 10r = 36$, więc $r = 3$ i $a_1 = 2$.

Krok 4. Ciąg geometryczny. $a_1 = 2$, $a_3 = 2 + 2 \cdot 3 = 8$, $a_k = 2 + 3(k - 1) = 3k - 1$. Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny, gdy kwadrat środkowej jest iloczynem skrajnych:

$$a_3^2 = a_1 \cdot a_k \quad\Longrightarrow\quad 64 = 2(3k - 1) \quad\Longrightarrow\quad 3k - 1 = 32 \quad\Longrightarrow\quad k = 11.$$

Krok 5. Sprawdzenie. $a_{11} = 32$, a ciąg $2, 8, 32$ jest geometryczny o ilorazie $4$. Przy okazji: $S_{11} = \frac{2 + 32}{2} \cdot 11 = 187$ i $\frac{2 + 8 + 26}{3} = 12$ - wszystko się zgadza.

Odpowiedź: $k = 11$. Zobacz: ciąg arytmetyczny i geometryczny oraz zadania z ciągów.