Matura próbna grudzień 2022 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Liczbę $5$ zapisujemy jako $5^1$. Przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie dodajemy wykładniki, a potęgę potęgi liczymy, mnożąc je:

$$\left(5^{1} \cdot 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = \left(5^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{2}} = \sqrt{5}.$$

Pułapki: odpowiedź A to $\left(5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{3}} = 5^{\frac{1}{6}}$ - zgubiony czynnik $5$, a D to $5^{\frac{1}{3}}$ - zgubiony czynnik $5^{\frac{1}{2}}$. Odpowiedź B wychodzi, gdy pomnoży się $5 \cdot 5 = 25$, traktując $5^{\frac{1}{2}}$ jak zwykłą piątkę.

Odpowiedź: C. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym oraz zadania z zapisu jako jednej potęgi.

Kapitalizacja co rok oznacza procent składany: po każdym roku wartość rośnie o $7\%$, czyli jest mnożona przez $1{,}07$. Po dwóch latach:

$$40\,000 \cdot 1{,}07 \cdot 1{,}07 = 40\,000 \cdot (1{,}07)^2 = 45\,796 \text{ zł}.$$

Pułapki: C to procent prosty ($2 \cdot 7\% = 14\%$, odsetki bez kapitalizacji - $45\,600$ zł), a B to błąd w zapisie procentu ($7\% = 0{,}07$, więc mnożnik to $1{,}07$, a nie $1{,}7$). Odpowiedź D to źle podniesiony do kwadratu mnożnik: $1{,}07^2 = 1{,}1449$, a nie $1{,}49$.

Odpowiedź: A. Zobacz: procent składany, lokaty i kredyty oraz zadania o lokatach.

Pierwsze równanie - koszt zakupów. $50$ par po $x$ zł i $40$ marynarek po $y$ zł kosztuje $50x + 40y$ zł, więc $50x + 40y = 8000$. Równanie $x + y = 8000$ (A i D) mówiłoby, że jedna para spodni i jedna marynarka kosztują razem $8000$ zł.

Drugie równanie - ceny detaliczne. Cena spodni po doliczeniu marży $50\%$ to $x + 0{,}5x = 1{,}5x$, a cena marynarki z marżą $20\%$ to $y + 0{,}2y = 1{,}2y$. Te ceny są równe: $1{,}5x = 1{,}2y$. Równanie $0{,}5x = 0{,}2y$ (B) porównuje same marże, a nie ceny.

Dla ciekawości: z $1{,}5x = 1{,}2y$ mamy $y = 1{,}25x$, więc $50x + 50x = 8000$, $x = 80$ zł, $y = 100$ zł.

Odpowiedź: C. Zobacz: zastosowanie układów równań oraz zadania tekstowe z układami równań.

Wspólny mianownik to $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$:

$$\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = \frac{(x + y) + (x - y)}{(x - y)(x + y)} = \frac{2x}{x^2 - y^2}.$$

Pułapka B: dodanie samych liczników ($1 + 1 = 2$) nad iloczynem mianowników - licznik trzeba pomnożyć przez brakujący czynnik. Kontrola dla $x = 3$, $y = 1$: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ oraz $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Odpowiedź: C. Zobacz: dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych oraz zadania z dodawania wyrażeń wymiernych.

Liczymy cyfry od lewej (reguła mnożenia):

• pierwsza cyfra - dowolna oprócz $0$: $9$ możliwości;
• druga - dowolna oprócz już użytej, ale zero jest już dozwolone: $9$ możliwości;
• trzecia: $8$, czwarta: $7$.

$$9 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 4536.$$

Pułapki: C liczy też „liczby” zaczynające się od zera, A zapomina, że zero wraca do gry od drugiej pozycji, a D to wszystkie liczby czterocyfrowe (z powtórzeniami).

Odpowiedź: B. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z reguły mnożenia.

Zapis $\log x$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny. Ponieważ $\sqrt{10} = 10^{\frac{1}{2}}$:

$$f\left(\sqrt{10}\right) = -\log 10^{\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}.$$

Pułapki: C gubi minus przed logarytmem, a A i D mylą pierwiastek kwadratowy z potęgą drugą ($\log 10^2 = 2$).

Odpowiedź: B. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z obliczania logarytmów.

7.1. Ramiona paraboli są skierowane w górę, więc najmniejszą wartością funkcji jest druga współrzędna wierzchołka, $-3$, a większe wartości są przyjmowane bez ograniczeń:

$$ZW_f = [-3, +\infty).$$

Pułapka: wpisanie pierwszej współrzędnej wierzchołka ($[5, +\infty)$) albo nawias otwarty przy $-3$ - wartość $-3$ jest przyjmowana w wierzchołku. Odpowiedź: $[-3, +\infty)$.

7.2. Postać kanoniczna to $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $(p, q)$ to wierzchołek:

$$f(x) = a(x - 5)^2 - 3.$$

Brakuje współczynnika $a$. Parabola przechodzi przez punkt $(4, 0)$:

$$0 = a(4 - 5)^2 - 3 \quad\Longrightarrow\quad a - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.$$

Kontrola: drugie miejsce zerowe leży symetrycznie względem prostej $x = 5$, czyli w $6$, i rzeczywiście $f(6) = 3 \cdot 1 - 3 = 0$. Pułapka: zapis $f(x) = (x - 5)^2 - 3$ z $a = 1$ - taka parabola miałaby miejsca zerowe $5 \pm \sqrt{3}$, a nie $4$.

Odpowiedź: $f(x) = 3(x - 5)^2 - 3$. Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej, zbiór wartości funkcji oraz zadania z wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej.

Lewa strona to trójmian z dodatnim współczynnikiem przy $x^2$ (równym $3$), więc jest ujemna między pierwiastkami. Pierwiastki to $x = 3$ (z $3x - 9 = 0$) oraz $x = -k$ (z $x + k = 0$). Przedział $(-2, 3)$ ma końce $-2$ i $3$, zatem

$$-k = -2 \quad\Longrightarrow\quad k = 2.$$

Sprawdzenie: $(3x - 9)(x + 2) < 0$ dla $x \in (-2, 3)$. Pułapka A: wpisanie końca przedziału $-2$ jako $k$ - ale pierwiastkiem czynnika $x + k$ jest $-k$, nie $k$.

Odpowiedź: B. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z nierówności kwadratowych.

Krok 1. Gdzie leży wykres. $f(0) = c < 0$, więc punkt $(0, c)$ wykresu leży pod osią $Ox$. Funkcja nie ma miejsc zerowych, czyli wykres nigdzie nie przecina osi - skoro jeden punkt jest pod osią, to cały wykres leży pod osią $Ox$: odpowiedź B.

Krok 2. Uzasadnienie. Brak miejsc zerowych to $\Delta = b^2 - 4ac < 0$, a parabola leżąca w całości pod osią ma ramiona w dół, czyli $a < 0$: uzasadnienie 1.

Pułapki: uzasadnienie 3 ($\Delta = 0$) oznacza jedno miejsce zerowe - sprzeczne z treścią; uzasadnienie 2 ($a > 0$) daje parabolę nad osią, a więc $c = f(0) > 0$.

Odpowiedź: B1. Zobacz: szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej oraz zadania o miejscach zerowych funkcji kwadratowej.

Interpretacją geometryczną układu są dwie proste, a jego rozwiązaniem - ich punkt przecięcia. Przyrównujemy prawe strony:

$$x - 1 = -x + 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 1, \quad y = 0.$$

Proste przecinają się w punkcie $(1, 0)$ na osi $Ox$. Do tego prosta $y = x - 1$ przecina oś $Oy$ w $-1$, a prosta $y = -x + 1$ - w $1$. Tak wygląda tylko rysunek A. Na rysunku B proste przecinają się w $(0, -1)$, na C - w $(-1, 0)$, a na D - w $(0, 1)$: we wszystkich trzech przynajmniej jedna prosta ma zły wyraz wolny.

Odpowiedź: A. Zobacz: graficzne rozwiązywanie układów równań oraz zadania z graficznej metody.

Grupujemy wyrazy po dwa:

$$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = x^2(x - 2) - 3(x - 2) = (x - 2)\left(x^2 - 3\right).$$

Pułapka: przy wyłączaniu $-3$ znak przy $6$ się zmienia: $-3x + 6 = -3(x - 2)$. Kontrola: $W(2) = 8 - 8 - 6 + 6 = 0$, więc $x - 2$ musi być czynnikiem (A i C odpadają), a $W(0) = 6$ zgadza się z $(-2) \cdot (-3) = 6$ w odpowiedzi B, a nie z $(-2) \cdot 3 = -6$ w D.

Odpowiedź: B. Zobacz: rozkładanie wielomianów na czynniki oraz zadania z rozkładu wielomianu na czynniki.

Dziedzina. Mianownik nie może być zerem: $x \ne \frac{5}{3}$ oraz $x \ne \frac{3}{2}$.

Licznik równy zero: $4 - x = 0$ lub $2x - 3 = 0$, czyli $x = 4$ lub $x = \frac{3}{2}$.

Liczba $\frac{3}{2}$ zeruje także mianownik (czynnik $3 - 2x$), więc nie należy do dziedziny. Zostaje jedno rozwiązanie: $x = 4$.

Pułapka B: dwa pierwiastki licznika bez sprawdzenia dziedziny. Ułamek równy zero wymaga zerowego licznika i niezerowego mianownika.

Odpowiedź: A. Zobacz: równania wymierne oraz zadania z równań wymiernych.

Mnożymy obie strony przez $6$ (liczba dodatnia - znak nierówności się nie zmienia):

$$12 - 3x \ge 2x - 18 \quad\Longrightarrow\quad 30 \ge 5x \quad\Longrightarrow\quad x \le 6.$$

Nierówność jest nieostra, więc $6$ ją spełnia: $2 - 3 = -1$ oraz $2 - 3 = -1$. Pułapka B: potraktowanie jej jak ostrej. Pułapka D: błąd znaku przy przenoszeniu ($x \ge -6$) - wtedy największej liczby całkowitej w ogóle by nie było.

Odpowiedź: A. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik:

$$5n^2 + 15n = 5n(n + 3).$$

Czynnik $5$ już jest. Wystarczy pokazać, że $n(n + 3)$ jest liczbą parzystą - wtedy całość dzieli się przez $5 \cdot 2 = 10$.

Krok 2. Parzystość. Liczby $n$ i $n + 3$ różnią się o $3$, czyli o liczbę nieparzystą, więc zawsze jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta. Dokładniej - dwa przypadki:

• $n = 2k$: wtedy $5n(n + 3) = 5 \cdot 2k(2k + 3) = 10k(2k + 3)$;
• $n = 2k + 1$: wtedy $n + 3 = 2k + 4 = 2(k + 2)$ i $5n(n + 3) = 10(2k + 1)(k + 2)$.

W obu przypadkach liczba jest iloczynem $10$ i liczby całkowitej, co kończy dowód.

Sprawdzenie kilku wartości ($n = 1$ daje $20$, $n = 2$ daje $50$) nie jest dowodem - teza ma działać dla każdej liczby naturalnej. Samo wyłączenie $5n$ przed nawias też nie wystarcza: trzeba jeszcze uzasadnić drugi czynnik $2$.

Odpowiedź: $5n^2 + 15n = 5n(n + 3)$, a iloczyn $n(n + 3)$ jest parzysty, więc liczba dzieli się przez $10$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód oraz zadania z wyłączania czynnika przed nawias.

Stwierdzenie 1. Badamy różnicę kolejnych wyrazów:

$$a_{n+1} - a_n = 2(n + 1)^2 + (n + 1) - 2n^2 - n = 4n + 3 > 0.$$

Każdy następny wyraz jest większy, więc ciąg jest rosnący ($a_1 = 3$, $a_2 = 10$, $a_3 = 21$). Fałsz.

Stwierdzenie 2. $a_8 = 2 \cdot 64 + 8 = 136$. Prawda. Pułapka: $(2 \cdot 8)^2 + 8 = 264$ - kwadrat dotyczy tylko $n$, nie iloczynu $2n$.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: monotoniczność ciągu oraz zadania z monotoniczności ciągu.

Różnica ciągu to różnica dwóch pierwszych wyrazów:

$$r = \frac{1}{2} - (-3) = \frac{7}{2}, \qquad x = \frac{1}{2} + \frac{7}{2} = 4, \qquad y = 4 + \frac{7}{2} = \frac{15}{2}.$$

Sprawdzenie: $\frac{15}{2} + \frac{7}{2} = 11$ - piąty wyraz się zgadza. Odpowiedź B ma dobre liczby w złej kolejności: ciąg $\left(-3, \frac{1}{2}, \frac{15}{2}, 4, 11\right)$ nie ma stałej różnicy.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągu arytmetycznego.

Iloraz ciągu: $q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{15}{-5} = -3$. Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

$$a_n = a_1 \cdot q^{n-1} = -5 \cdot (-3)^{n-1}.$$

To odpowiedź A. Drugi wzór trzeba rozpoznać po przekształceniu. Ponieważ $(-3)^{n-1} = \frac{(-3)^n}{-3}$:

$$-5 \cdot (-3)^{n-1} = -5 \cdot \frac{(-3)^n}{-3} = 5 \cdot \frac{(-3)^n}{3},$$

czyli odpowiedź E. Najprościej odrzucić resztę, podstawiając $n = 1$: B daje $15$, D daje $5$, F daje $-45$, a C ma dobre $a_1 = -5$, ale $a_2 = -15$ (zgubiony znak ilorazu).

Odpowiedź: A oraz E. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania z ciągu geometrycznego.

Sprowadzamy do wspólnego mianownika i korzystamy z jedynki trygonometrycznej:

$$\frac{1}{\sin^2\alpha} + \frac{1}{\cos^2\alpha} = \frac{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha}{\sin^2\alpha \cos^2\alpha} = \frac{1}{(\sin\alpha\cos\alpha)^2}.$$

Zatem $(\sin\alpha\cos\alpha)^2 = \frac{9}{64}$. Kąt jest ostry, więc sinus i cosinus są dodatnie i $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{3}{8}$.

Pułapki: D to kwadrat szukanej liczby (brak pierwiastkowania), A - odwrotność wyniku. Odpowiedź A i tak nie mogłaby być prawdziwa: $\sin\alpha\cos\alpha$ dla kąta ostrego nie przekracza $\frac{1}{2}$.

Odpowiedź: B. Zobacz: tożsamości trygonometryczne oraz zadania ze związków między funkcjami trygonometrycznymi.

Krok 1. Trzeci kąt środkowy. Kąty $AOC$, $BOA$ i $BOC$ wypełniają pełny kąt wokół środka $O$:

$$|\angle BOC| = 360^\circ - 130^\circ - 110^\circ = 120^\circ.$$

Krok 2. Kąt wpisany. Kąt $BAC$ jest wpisany i oparty na tym samym łuku $BC$ co kąt środkowy $BOC$, więc jest od niego dwa razy mniejszy: $|\angle BAC| = 60^\circ$.

Pułapki: $55^\circ$ i $65^\circ$ to połowy podanych kątów, czyli pozostałe kąty trójkąta: $|\angle ACB| = 55^\circ$ (oparty na łuku $AB$) i $|\angle ABC| = 65^\circ$ (oparty na łuku $AC$). Kontrola: $60^\circ + 55^\circ + 65^\circ = 180^\circ$.

Odpowiedź: A. Zobacz: koła i kąty oraz zadania z kątów w okręgu.

Krok 1. Związek między wymiarami. Lina tworzy dwa boki długości $a$ (prostopadłe do brzegu) i jeden bok długości $b$ (równoległy do brzegu):

$$2a + b = 200 \quad\Longrightarrow\quad b = 200 - 2a.$$

Krok 2. Dziedzina. $a > 0$ oraz $b = 200 - 2a > 0$, czyli $a \in (0, 100)$.

Krok 3. Funkcja pola.

$$P(a) = a \cdot b = a(200 - 2a) = -2a^2 + 200a.$$

Krok 4. Maksimum. Wykres to parabola z ramionami w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku. Miejsca zerowe to $0$ i $100$, wierzchołek leży w połowie:

$$a_w = \frac{0 + 100}{2} = 50 \in (0, 100), \qquad b = 200 - 2 \cdot 50 = 100.$$

Największa powierzchnia to $P(50) = 50 \cdot 100 = 5000\ \mathrm{m}^2$.

Pułapki: zapis $2a + 2b = 200$ (lina na wszystkich czterech bokach) prowadzi do kwadratu $50 \times 50$ o polu tylko $2500\ \mathrm{m}^2$. Dziedzina funkcji pola jest częścią punktowanego rozwiązania w zasadach oceniania - bez niej nie wiadomo, czy wierzchołek paraboli w ogóle odpowiada jakiemuś kąpielisku.

Odpowiedź: $a = 50$ m, $b = 100$ m. Zobacz: zadania optymalizacyjne z funkcją kwadratową oraz zadania z optymalizacji.

Kąt kwadratu przy wierzchołku $A$ ma $90^\circ$, a punkty $B$ i $D$ leżą na okręgu (są odległe od $A$ o $8$). Część wspólna to wycinek koła o kącie $90^\circ$, czyli ćwiartka koła:

$$P = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi \cdot 8^2 = \frac{64\pi}{4} = 16\pi.$$

Pułapka B: $8\pi$ to $\frac{1}{8}$ koła - tyle, ile wycinek o kącie $45^\circ$, czyli połowa zaznaczonej części (przerywany promień dzieli ją na dwie równe połowy). Całe koło ma pole $64\pi$, a kwadrat - $64$; część wspólna jest mniejsza od obu.

Odpowiedź: A. Zobacz: pole koła i wycinka koła oraz zadania z pola wycinka.

Trójkąty podobne. Trójkąty $ADO$ i $BCO$ mają kąty proste przy $D$ i przy $C$ oraz równe kąty wierzchołkowe przy $O$. Są więc podobne (cecha kąt-kąt), przy czym $D$ odpowiada $C$, a $A$ odpowiada $B$. Stosunek przyprostokątnych jest w obu trójkątach ten sam:

$$\frac{|AD|}{|OD|} = \frac{|BC|}{|OC|} \quad\Longrightarrow\quad \frac{4}{6} = \frac{6}{|OC|} \quad\Longrightarrow\quad |OC| = 9.$$

Pułapki: C to $|AO| = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$ - przeciwprostokątna pierwszego trójkąta, a D to $|OB| = \sqrt{9^2 + 6^2} = 3\sqrt{13}$ - przeciwprostokątna drugiego. W podobieństwie łatwo też zestawić boki „na krzyż”: przy kącie $O$ leżą $OD$ i $OC$, naprzeciw niego - $AD$ i $BC$.

Odpowiedź: A. Zobacz: podobieństwo trójkątów oraz zadania z podobieństwa trójkątów.

Niech $a$ - bok rombu, $\frac{|AE|}{|AD|} = t$, gdzie $0 < t < 1$.

Krok 1. Bok $EF$ równoległy do $BD$. Trójkąt $AEF$ jest podobny do trójkąta $ADB$ (wspólny kąt przy $A$, $EF \parallel DB$) w skali $t$:

$$|EF| = t \cdot |BD| = 12t.$$

Krok 2. Bok $EH$ równoległy do $AC$. Trójkąt $DEH$ jest podobny do trójkąta $DAC$ (wspólny kąt przy $D$, $EH \parallel AC$) w skali $\frac{|DE|}{|DA|} = 1 - t$:

$$|EH| = (1 - t) \cdot |AC| = 16(1 - t).$$

Krok 3. Boki rombu są równe.

$$12t = 16(1 - t) \quad\Longrightarrow\quad 28t = 16 \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{4}{7}, \qquad a = 12 \cdot \frac{4}{7} = \frac{48}{7}.$$

Kontrola: $16 \cdot \frac{3}{7} = \frac{48}{7}$. Pułapka: założenie, że wierzchołki rombu są środkami boków - wtedy powstaje równoległobok o bokach $6$ i $8$, który nie jest rombem.

Odpowiedź: bok rombu ma długość $\frac{48}{7}$. Zobacz: twierdzenie Talesa oraz zadania z twierdzenia Talesa.

Krok 1. Sinus kąta. Z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$. Kąt trójkąta leży w przedziale $(0^\circ, 180^\circ)$, więc jego sinus jest dodatni: $\sin\alpha = \frac{3}{5}$.

Krok 2. Pole z dwóch boków i kąta między nimi.

$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin\alpha = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \frac{3}{5} = \frac{18}{5}.$$

Pułapki: wstawienie do wzoru cosinusa zamiast sinusa daje $\frac{24}{5}$, a przyjęcie, że trójkąt jest prostokątny (bo boki $3$ i $4$ kojarzą się z trójkątem $3$-$4$-$5$), daje $6$. Kąt między bokami $3$ i $4$ nie jest prosty - jego cosinus to $\frac{4}{5}$, a nie $0$.

Odpowiedź: $P = \frac{18}{5}$. Zobacz: wzory na pole trójkąta oraz zadania z pola trójkąta.

Bok sześciokąta. Sześciokąt foremny o boku $a$ składa się z sześciu trójkątów równobocznych:

$$6 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = 6\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = 2.$$

25.2. Odcinek $AE$ to krótsza przekątna sześciokąta. W trójkącie $AFE$ boki $FA$ i $FE$ mają długość $2$, a kąt przy $F$ ma $120^\circ$; z twierdzenia cosinusów

$$|AE|^2 = 2^2 + 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot \cos 120^\circ = 4 + 4 + 4 = 12, \qquad |AE| = 2\sqrt{3}.$$

Pułapka D: $4$ to dłuższa przekątna $|AD| = 2a$. Odpowiedź: B.

25.1. Trójkąt $AFE$ jest równoramienny z kątem $120^\circ$ przy $F$, więc $|\angle FAE| = 30^\circ$. Kąt wewnętrzny sześciokąta ma $120^\circ$, zatem $|\angle EAB| = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$. Trójkąt $ABE$ jest prostokątny z przyprostokątnymi $|AB| = 2$ i $|AE| = 2\sqrt{3}$:

$$P_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}.$$

Kontrola: to dokładnie $\frac{1}{3}$ pola sześciokąta ($\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$). Odpowiedź: C.

Zobacz: wielokąty oraz zadania z wielokątów.

Krok 1. Skala podobieństwa. Podstawy trapezu są równoległe, więc trójkąty $ABO$ i $CDO$ są podobne (kąty wierzchołkowe przy $O$ i kąty naprzemianległe). Stosunek obwodów to skala podobieństwa:

$$k = \frac{39}{13} = 3.$$

Krok 2. Wysokości. Wysokości obu trójkątów poprowadzone z $O$ leżą na jednej prostej prostopadłej do podstaw i razem dają wysokość trapezu. Są w stosunku $3 : 1$:

$$3h + h = 12 \quad\Longrightarrow\quad h = 3, \qquad h_{ABO} = 3h = 9.$$

Pułapki: A to wysokość mniejszego trójkąta $CDO$, a B to $\frac{12}{3}$ - podzielenie wysokości trapezu przez skalę zamiast podzielenia jej w stosunku $3 : 1$.

Odpowiedź: C. Zobacz: trapezy oraz zadania z trapezu.

Na osi $Oy$ jest $x = 0$. Podstawiamy:

$$9 + (y - 3)^2 = 13 \quad\Longrightarrow\quad (y - 3)^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad y = 1 \;\text{ lub }\; y = 5.$$

Pułapka C: punkty $(1, 0)$ i $(5, 0)$ leżą na osi $Ox$ - przez symetrię równania to właśnie punkty przecięcia okręgu z osią $Ox$, a nie $Oy$. Odpowiedzi B i D biorą $y - 3 = \pm 2$ ze złym znakiem.

Odpowiedź: A. Zobacz: równanie okręgu oraz zadania z równania okręgu.