Matura próbna grudzień 2024 matematyka podstawowa - odpowiedzi i rozwiązania

Wartość bezwzględna jest równa $7$, gdy wyrażenie w środku to $7$ albo $-7$:

$$x + 4 = 7 \quad\text{lub}\quad x + 4 = -7 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 3 \quad\text{lub}\quad x = -11.$$

Suma rozwiązań: $3 + (-11) = -8$. Szybciej: oba rozwiązania leżą symetrycznie wokół $-4$ (to liczby odległe od $-4$ o $7$), więc ich suma to $2 \cdot (-4) = -8$. Odpowiedź C to samo rozwiązanie $x = 3$ - pułapka dla kogoś, kto zapomniał o drugim przypadku.

Odpowiedź: B. Zobacz: proste równania z wartością bezwzględną oraz zadania z wartości bezwzględnej.

Zapisujemy oba czynniki jako potęgi piątki: $\sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}}$ i $\frac{1}{5} = 5^{-1}$. Wtedy

$$\left(5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{-1}\right)^{-5} = \left(5^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5} = 5^{4}.$$

Minus w wykładniku zewnętrznym zmienia znak wykładnika wewnątrz: $-\frac{4}{5} \cdot (-5) = 4$. Odpowiedź B wychodzi, gdy zgubi się jeden z minusów.

Odpowiedź: A. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym oraz zadania z potęg o wykładniku wymiernym.

Krok 1. Wspólna podstawa. Wszystkie składniki to potęgi dwójki:

$$4^{49} = \left(2^2\right)^{49} = 2^{98}, \qquad 16^{24} = \left(2^4\right)^{24} = 2^{96}.$$

Krok 2. Wyłączenie najmniejszej potęgi przed nawias.

$$2^{100} + 2^{98} + 2^{96} = 2^{96}\left(2^4 + 2^2 + 1\right) = 2^{96} \cdot (16 + 4 + 1) = 21 \cdot 2^{96}.$$

Krok 3. Wniosek. Liczba $2^{96}$ jest naturalna, więc $2^{100} + 4^{49} + 16^{24} = 21 \cdot 2^{96}$ jest wielokrotnością liczby $21$, czyli dzieli się przez $21$. To kończy dowód.

Ten sam rachunek działa na podstawie $4$: $4^{50} + 4^{49} + 4^{48} = 4^{48}(16 + 4 + 1)$. Sprawdzenie na kalkulatorze nic tu nie da - liczba ma $31$ cyfr - dlatego trzeba pokazać czynnik $21$ wprost.

Odpowiedź: $2^{100} + 4^{49} + 16^{24} = 21 \cdot 2^{96}$, więc liczba jest podzielna przez $21$. Zobacz: definicja, twierdzenie, dowód oraz zadania o podzielności potęg.

Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika: $6\log_7 y = \log_7 y^6$. Suma logarytmów o tej samej podstawie to logarytm iloczynu:

$$\log_7 x + \log_7 y^6 = \log_7\left(x y^6\right).$$

Szóstka dotyczy tylko $y$, a nie całego iloczynu $xy$ - to pułapka w odpowiedzi B. Odpowiedź A odpowiada różnicy logarytmów, a C traktuje szóstkę jak czynnik pod logarytmem.

Odpowiedź: D. Zobacz: określenie logarytmu oraz zadania z praw logarytmów.

Po dwóch latach procentu składanego kapitał rośnie $\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$ razy:

$$60\,000 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = 67\,925{,}76 \quad\Longrightarrow\quad \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 = 1{,}132096.$$

Ponieważ $1{,}064^2 = 1{,}132096$, mamy $1 + \frac{p}{100} = 1{,}064$, czyli $p = 6{,}4$. Można też sprawdzić odpowiedzi: $60\,000 \cdot 1{,}064 = 63\,840$ zł po roku i $63\,840 \cdot 1{,}064 = 67\,925{,}76$ zł po dwóch latach. Pułapka: przy procencie prostym (odsetki tylko od $60\,000$ zł) wyszłoby $7\,925{,}76 : 2 : 60\,000 \approx 6{,}6\%$ - takiej odpowiedzi w arkuszu nie ma, co od razu pokazuje, że trzeba liczyć procent składany.

Odpowiedź: B. Zobacz: procent składany, lokaty i kredyty oraz zadania o lokatach.

Dzielenie zamieniamy na mnożenie przez odwrotność i rozkładamy $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$:

$$\frac{x}{(x - 1)(x + 1)} \cdot \frac{x + 1}{3x^2} = \frac{1}{3x(x - 1)} = \frac{1}{3x^2 - 3x}.$$

Skracamy $x + 1$ oraz jeden czynnik $x$. Kontrola dla $x = 2$: lewa strona to $\frac{2}{3} : \frac{12}{3} = \frac{1}{6}$, a $\frac{1}{3 \cdot 4 - 6} = \frac{1}{6}$.

Odpowiedź: B. Zobacz: mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych oraz zadania z mnożenia i dzielenia wyrażeń wymiernych.

Podstawiamy $x = -1$ i $y = 6$ do obu równań:

$$-a + 18 = 20 \;\Longrightarrow\; a = -2, \qquad -1 + 6b = 5 \;\Longrightarrow\; b = 1.$$

Zatem $a \cdot b = -2 \cdot 1 = -2$. Odpowiedź D dostaje ten, kto z pierwszego równania wyliczy $a = 2$ (zgubiony minus przy $x = -1$).

Odpowiedź: A. Zobacz: metoda podstawiania oraz zadania z układów równań.

Krok 1. Założenie. Mianowniki nie mogą być zerem: $x - 1 \ne 0$ i $2x - 2 \ne 0$, czyli $x \ne 1$.

Krok 2. Wspólny mianownik. Prawy mianownik to $2x - 2 = 2(x - 1)$. Mnożymy obie strony przez $2(x - 1)$:

$$2(x + 3) = x \quad\Longrightarrow\quad 2x + 6 = x \quad\Longrightarrow\quad x = -6.$$

Krok 3. Sprawdzenie z założeniem. $-6 \ne 1$, więc rozwiązanie należy do dziedziny. Kontrola: lewa strona $\frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}$, prawa $\frac{-6}{-14} = \frac{3}{7}$.

Mnożenie „na krzyż” daje równanie kwadratowe $(x + 3)(2x - 2) = x(x - 1)$, czyli $x^2 + 5x - 6 = 0$, z rozwiązaniami $-6$ i $1$. Wtedy koniecznie trzeba odrzucić $x = 1$, które wypada z dziedziny - zostawienie go to typowy błąd.

Odpowiedź: $x = -6$. Zobacz: równania wymierne oraz zadania z równań wymiernych.

Krok 1. Postać ogólna. Wymnażamy i przenosimy wszystko na lewą stronę: $x^2 - 6x - 7 \le 0$.

Krok 2. Pierwiastki trójmianu.

$$\Delta = 36 + 28 = 64, \qquad x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7.$$

Można też od razu rozłożyć: $x^2 - 6x - 7 = (x + 1)(x - 7)$.

Krok 3. Odczyt ze szkicu paraboli. Ramiona są skierowane w górę (współczynnik przy $x^2$ dodatni), więc wartości niedodatnie trójmian przyjmuje między pierwiastkami, z końcami włącznie (znak $\le$).

Częsty błąd to rozwiązywanie „po kawałku”: $x \le 7$ i $x - 6 \le 7$ - tak z iloczynem postępować nie wolno, bo prawa strona nie jest zerem.

Odpowiedź: $x \in [-1, 7]$. Zobacz: nierówności kwadratowe oraz zadania z nierówności kwadratowych.

1. Dziedzina. Trzy przedziały ze wzoru sklejają się w jeden: $(-4, -2] \cup (-2, 2] \cup (2, 4] = (-4, 4]$. Lewy koniec jest otwarty (puste kółko w punkcie $(-4, 3)$), prawy zamknięty.

2. Zbiór wartości. Na pierwszym kawałku $f$ ma stałą wartość $3$. Na drugim maleje od $3$ (wartość $3$ przy $x = -2$ jest już osiągnięta na pierwszym kawałku) do $f(2) = -1$. Na trzecim rośnie od $-1$ do $f(4) = 1$. Najmniejsza wartość to $-1$, największa $3$, a wszystkie pośrednie są osiągane: zbiór wartości to $[-1, 3]$.

3. Wartości ujemne. Na drugim kawałku $-x + 1 < 0 \iff x > 1$, czyli $x \in (1, 2]$. Na trzecim $x - 3 < 0 \iff x < 3$, czyli $x \in (2, 3)$. Razem $(1, 3)$ - miejsca zerowe $1$ i $3$ do zbioru nie należą, bo tam $f(x) = 0$, a zero nie jest liczbą ujemną.

4. Największa wartość. Wartość $3$ funkcja przyjmuje na całym pierwszym kawałku, czyli dla $x \in (-4, -2]$. Na drugim kawałku $-x + 1 = 3$ dałoby $x = -2$, który jest już w tym przedziale.

Każde poprawnie uzupełnione zdanie to $1$ punkt. Najczęstsze potknięcia to domknięty lewy koniec dziedziny i włączenie miejsc zerowych do zbioru, gdzie funkcja jest ujemna.

Odpowiedź: 1. $(-4, 4]$; 2. $[-1, 3]$; 3. $(1, 3)$; 4. $(-4, -2]$. Zobacz: odczytywanie własności funkcji z wykresu oraz zadania z odczytu z wykresu.

Stwierdzenie 1. Prosta przechodzi przez punkty $(2, 0)$ i $(0, 4)$, więc

$$a = \frac{4 - 0}{0 - 2} = -2.$$

Prawda - wzór funkcji to $f(x) = -2x + 4$.

Stwierdzenie 2. Trójkąt ma wierzchołki $(0, 0)$, $(2, 0)$ i $(0, 4)$ - to trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $2$ i $4$. Jego pole to $\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4$, a nie $8$. Fałsz; $8$ to iloczyn przyprostokątnych bez podzielenia przez $2$.

Odpowiedź: P, F. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania o miejscu zerowym funkcji liniowej.

Wzór funkcji. Wierzchołek $(3, 0)$ daje postać kanoniczną $f(x) = a(x - 3)^2$. Punkt $(0, -9)$:

$$a \cdot (0 - 3)^2 = -9 \quad\Longrightarrow\quad 9a = -9 \quad\Longrightarrow\quad a = -1.$$

Zatem $f(x) = -(x - 3)^2 = -x^2 + 6x - 9$. Parabola ma ramiona skierowane w dół.

12.1. Przy ramionach w dół funkcja rośnie aż do wierzchołka, a za nim maleje - maleje więc w przedziale $[3, +\infty)$. Odpowiedź B to przedział monotoniczności dla paraboli z ramionami do góry. Odpowiedź: D.

12.2. Postać kanoniczna to B, a po wymnożeniu $-(x^2 - 6x + 9) = -x^2 + 6x - 9$, czyli D. Wzór C ma wierzchołek w $(-3, 0)$, wzór A - w $(0, -9)$, a F to rozwinięcie wzoru C. Za każdą poprawną literę jest punkt, ale wpisanie trzech lub więcej liter daje zero. Odpowiedź: B oraz D.

12.3. $g(x) = -(x - 3)^2 - 1$: wykres $f$ przesunięty o $1$ w dół. Wierzchołek $(3, -1)$ leży pod osią $Ox$, a ramiona idą w dół, więc $g(x) \le -1 < 0$ dla każdego $x$ - funkcja $g$ nie ma miejsc zerowych (pierwsze stwierdzenie fałszywe). Przesunięcie w pionie nie zmienia osi symetrii: nadal $x = 3$ (drugie prawdziwe). Odpowiedź: F, P.

Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej, przesunięcie wykresu wzdłuż osi Oy oraz zadania z wyznaczania wzoru funkcji kwadratowej.

Stwierdzenie 1. $\log_6 36 = 2$, bo $6^2 = 36$. Wartość $6$ to pomylenie logarytmu z pierwiastkiem lub z dzieleniem $36 : 6$. Fałsz.

Stwierdzenie 2. Podstawa $6 > 1$, więc funkcja logarytmiczna jest rosnąca. Prawda.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: funkcja logarytmiczna i jej własności oraz zadania z własności funkcji logarytmicznej.

Wyrazy na przemian: dla $n$ nieparzystych $(-1)^n = -1$, więc $a_n = 7$; dla parzystych $a_n = 13$. Ciąg to $7, 13, 7, 13, \ldots$

Stwierdzenie 1. Ilorazy kolejnych wyrazów to $\frac{13}{7}$, potem $\frac{7}{13}$ - nie są stałe, więc ciąg nie jest geometryczny. Fałsz. (Geometryczny jest ciąg $3 \cdot (-1)^n$, ale dodanie $10$ to psuje.)

Stwierdzenie 2. Osiem wyrazów to cztery pary $7 + 13 = 20$, czyli $4 \cdot 20 = 80$. Prawda.

Odpowiedź: F, P. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania o wyrazach ciągu.

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiadów:

$$2(4 + 2m) = 5m + m \quad\Longrightarrow\quad 8 + 4m = 6m \quad\Longrightarrow\quad m = 4.$$

Sprawdzenie: ciąg $(20, 12, 4)$ ma stałą różnicę $-8$.

Odpowiedź: D. Zobacz: ciąg arytmetyczny oraz zadania z ciągu arytmetycznego.

Iloraz: $q = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{1}{9} : \dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. Dalej

$$a_5 = a_3 \cdot q^2 = \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{4}{81}.$$

Odpowiedź B to $a_4 = \frac{2}{27}$ - pułapka dla kogoś, kto pomnoży przez $q$ tylko raz.

Odpowiedź: C. Zobacz: ciąg geometryczny oraz zadania z ciągu geometrycznego.

Kąt prosty jest przy wierzchołku $A$, a $BC = 8$ to przeciwprostokątna.

17.1. Naprzeciw kąta $ABC$ leży przyprostokątna $AC$, więc

$$\sin\angle ABC = \frac{|AC|}{|BC|} = \frac{\sqrt{15}}{8}.$$

Odpowiedź B to $\cos\angle ABC = \frac{7}{8}$. Odpowiedź: D.

17.2. Najpierw $|AB|$ z twierdzenia Pitagorasa: $|AB|^2 = 64 - 15 = 49$, więc $|AB| = 7$ i $|AD| = 7 - 6 = 1$. W trójkącie prostokątnym $ADC$ (kąt prosty w $A$):

$$\operatorname{tg}\angle ADC = \frac{|AC|}{|AD|} = \frac{\sqrt{15}}{1} = \sqrt{15}.$$

Pułapka D: to sinus kąta $ABC$ z poprzedniego podpunktu, a nie tangens kąta $ADC$. Odpowiedź: A.

Zobacz: trygonometria kąta ostrego oraz zadania z wartości funkcji trygonometrycznych.

Z jedynki trygonometrycznej:

$$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{3}{16} = \frac{13}{16}, \qquad |\cos\alpha| = \frac{\sqrt{13}}{4}.$$

Kąt rozwarty leży w II ćwiartce, gdzie cosinus jest ujemny, więc $\cos\alpha = -\frac{\sqrt{13}}{4}$. Odpowiedź D to wynik bez uwzględnienia znaku - właśnie dlatego słowo „rozwarty” jest w arkuszu podkreślone.

Odpowiedź: A. Zobacz: funkcje trygonometryczne dowolnego kąta oraz zadania z funkcji dowolnego kąta.

Krok 1. Trójkąt $ACB$. Kąt prosty jest przy $C$, a $AB = 7{,}5$ to przeciwprostokątna:

$$|BC| = \sqrt{7{,}5^2 - 6^2} = \sqrt{56{,}25 - 36} = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5.$$

Krok 2. Podobieństwo trójkątów. Podstawy są równoległe, więc kąty $DCA$ i $CAB$ są równe (naprzemianległe). Trójkąty prostokątne $ADC$ (kąt prosty przy $D$) i $BCA$ (kąt prosty przy $C$) mają więc równe kąty ostre i są podobne:

$$\frac{|DC|}{|AC|} = \frac{|AC|}{|AB|} \quad\Longrightarrow\quad |DC| = \frac{36}{7{,}5} = 4{,}8, \qquad \frac{|AD|}{|AC|} = \frac{|BC|}{|AB|} \quad\Longrightarrow\quad |AD| = \frac{6 \cdot 4{,}5}{7{,}5} = 3{,}6.$$

Kontrola Pitagorasem w trójkącie $ADC$: $3{,}6^2 + 4{,}8^2 = 12{,}96 + 23{,}04 = 36 = 6^2$.

Krok 3. Pole. Wysokość trapezu to ramię $AD$ prostopadłe do podstaw:

$$P = \frac{(7{,}5 + 4{,}8) \cdot 3{,}6}{2} = \frac{12{,}3 \cdot 3{,}6}{2} = 22{,}14.$$

Drugi sposób: pole jako suma pól trójkątów: $P_{ACB} = \frac{6 \cdot 4{,}5}{2} = 13{,}5$ i $P_{ADC} = \frac{3{,}6 \cdot 4{,}8}{2} = 8{,}64$; razem $22{,}14$. Pułapka: wysokością trapezu nie jest $|AC| = 6$ ani $|BC| = 4{,}5$ - żaden z tych odcinków nie jest prostopadły do podstaw.

Odpowiedź: $P = 22{,}14$. Zobacz: podobieństwo trójkątów oraz zadania z trapezów.

Kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest dwa razy większy od wpisanego: $\angle ASB = 120^\circ$. Łuk to $\frac{120^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{3}$ okręgu:

$$l = \frac{1}{3} \cdot 2\pi \cdot 6 = 4\pi.$$

Odpowiedź A wychodzi, gdy liczy się łuk dla kąta $60^\circ$ zamiast kąta środkowego, C to połowa obwodu, a D - cały obwód okręgu.

Odpowiedź: B. Zobacz: koła i kąty w okręgu oraz zadania z łuków i wycinków.

$AC$ jest przekątną kwadratu:

$$|AC| = \sqrt{(3 + 2)^2 + (4 + 1)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.$$

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$, więc $a = 5$. Odpowiedź C to długość przekątnej, a nie boku.

Odpowiedź: A. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych oraz zadania z długości odcinka.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, a punkt $(0, 6)$ daje wyraz wolny: $l\colon y = -7x + 6$. Dla $x = 1$: $p = -7 + 6 = -1$. Odpowiedź A to $-7 + 3$, czyli punkt na prostej $k$, a nie $l$.

Odpowiedź: B. Zobacz: współczynnik kierunkowy oraz zadania z prostych równoległych.

Okrąg o środku $(a, b)$ i promieniu $r$ nie ma punktów wspólnych z osią $Oy$, gdy $|a| > r$, a z osią $Ox$, gdy $|b| > r$ (odległość środka od osi większa od promienia).

• $o_1$: środek $(1, 2)$, $r = 1$ - odległość od osi $Oy$ równa $1 = r$, okrąg jest styczny do $Oy$;
• $o_2$: środek $(-1, -2)$, $r = 3$ - przecina obie osie;
• $o_3$: środek $(3, 4)$, $r = 2$ - odległości $3 > 2$ i $4 > 2$, brak punktów wspólnych;
• $o_4$: środek $(-3, -4)$, $r = 4$ - styczny do osi $Ox$ i przecina oś $Oy$.

Pułapka to $o_1$ i $o_4$: punkt styczności też jest punktem wspólnym.

Odpowiedź: C. Zobacz: równanie okręgu oraz zadania z równania okręgu.

Kąt nachylenia ściany bocznej leży w trójkącie prostokątnym: wysokość ostrosłupa $H$, odcinek od środka podstawy do środka krawędzi podstawy (połowa boku, $2$) i wysokość ściany bocznej. Stąd

$$\operatorname{tg}\alpha = \frac{H}{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad H = 6.$$

Odpowiedź D bierze cały bok ($4 \cdot 3$), a C - połowę przekątnej podstawy $2\sqrt{2}$, która dotyczy kąta nachylenia krawędzi bocznej, a nie ściany.

Odpowiedź: B. Zobacz: kąt między prostą a płaszczyzną, kąt dwuścienny oraz zadania z kąta dwuściennego.

Kolejne liczby parzyste różnią się o $2$, a najdłuższa to $p$, więc krawędzie mają długości $p - 4$, $p - 2$ i $p$:

$$V = p(p - 2)(p - 4) = p\left(p^2 - 6p + 8\right) = p^3 - 6p^2 + 8p.$$

Kontrola dla $p = 6$: $2 \cdot 4 \cdot 6 = 48$ oraz $216 - 216 + 48 = 48$. Odpowiedź A to iloczyn kolejnych liczb naturalnych $p(p - 1)(p - 2)$, a B - liczb rosnących od $p$, choć $p$ jest najdłuższą krawędzią.

Odpowiedź: D. Zobacz: objętość wielościanów oraz zadania z objętości.

Krok 1. Promień podstawy.

$$\frac{1}{3}\pi r^2 \cdot 2 = 8\pi \quad\Longrightarrow\quad r^2 = 12 \quad\Longrightarrow\quad r = 2\sqrt{3}.$$

Krok 2. Połowa kąta rozwarcia. Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny; wysokość dzieli go na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $h = 2$ i $r = 2\sqrt{3}$. Jeśli $\beta$ to połowa kąta rozwarcia (kąt przy wierzchołku stożka), to

$$\operatorname{tg}\beta = \frac{r}{h} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad \beta = 60^\circ.$$

Krok 3. Kąt rozwarcia to $2\beta = 120^\circ$. Pułapki: podanie $60^\circ$ (tylko połowa kąta) albo $\operatorname{tg}\beta = \frac{h}{r}$, co daje $30^\circ$ - kąt między tworzącą a podstawą.

Odpowiedź: kąt rozwarcia stożka ma miarę $120^\circ$. Zobacz: stożek oraz zadania ze stożka.

Liczymy z reguły mnożenia, pozycja po pozycji:

• pierwsza cyfra: $1$, $2$ albo $3$ (zero na początku odpada) - $3$ możliwości;
• druga, trzecia i czwarta: dowolna z czterech cyfr - po $4$ możliwości;
• ostatnia: liczba ma być nieparzysta, więc $1$ albo $3$ - $2$ możliwości.

$$3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 2 = 384.$$

Odpowiedź C ($4^4 \cdot 2$) dopuszcza zero na pierwszym miejscu, a D ($3 \cdot 4^3 \cdot 3$) traktuje zero jako cyfrę nieparzystą.

Odpowiedź: B. Zobacz: reguła mnożenia i dodawania oraz zadania z reguły mnożenia.

Krok 1. Zdarzenia elementarne. Wynik to para $(c, d)$; wszystkich par jest $|\Omega| = 6 \cdot 4 = 24$ i są jednakowo prawdopodobne.

Krok 2. Pary sprzyjające. Rozpatrujemy liczbę $c$:

• $c = 4$: iloczyn dzieli się przez $4$ dla każdego $d$ - $4$ pary;
• $c = 2$ lub $c = 6$ (parzyste, ale niepodzielne przez $4$): potrzebny jeszcze jeden czynnik $2$, więc $d$ parzyste: $8$ albo $10$ - po $2$ pary, razem $4$;
• $c \in \{1, 3, 5\}$ (nieparzyste): całe $4$ musi dać $d$, czyli $d = 8$ - $3$ pary.

$$|A| = 4 + 4 + 3 = 11.$$

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$$P(A) = \frac{11}{24}.$$

Częsty błąd to przy $c = 2$ lub $6$ liczenie tylko $d = 8$ - tymczasem $2 \cdot 10 = 20$ i $6 \cdot 10 = 60$ też dzielą się przez $4$.

Odpowiedź: $P(A) = \frac{11}{24}$. Zobacz: obliczanie prawdopodobieństwa oraz zadania z prawdopodobieństwa klasycznego.

1. Średnia to średnia ważona liczbami uczniów:

$$\bar{x} = \frac{4 \cdot 5 + 5 \cdot 8 + 6 \cdot 12 + 7 \cdot 13 + 8 \cdot 12}{50} = \frac{20 + 40 + 72 + 91 + 96}{50} = \frac{319}{50} = 6{,}38.$$

Zasady oceniania nie akceptują zaokrągleń - trzeba podać $6{,}38$. Pułapka: średnia z liczb w pierwszym wierszu, $\frac{4 + 5 + 6 + 7 + 8}{5} = 6$, pomija to, ilu uczniów przeczytało daną liczbę książek.

2. Mediana. Danych jest $50$ (parzyście), więc mediana to średnia $25.$ i $26.$ wyniku w uporządkowanym ciągu. Liczymy narastająco: $5$ uczniów po $4$ książki, do $13.$ ucznia po $5$, do $25.$ po $6$, od $26.$ do $38.$ po $7$. Zatem $25.$ wynik to $6$, a $26.$ to $7$:

$$\text{Me} = \frac{6 + 7}{2} = 6{,}5.$$

Odpowiedź: średnia $6{,}38$, mediana $6{,}5$. Zobacz: mediana, moda i skala centylowa oraz zadania ze średniej ważonej.

Krok 1. Trzecia krawędź. Oznaczmy $|AB| = x$, $|AE| = 3x$, $|AD| = y$. Każda z tych krawędzi występuje w prostopadłościanie cztery razy:

$$4(x + 3x + y) = 48 \quad\Longrightarrow\quad 4x + y = 12 \quad\Longrightarrow\quad y = 12 - 4x.$$

Krok 2. Wzór funkcji. Pole powierzchni całkowitej to suma pól trzech par ścian:

$$P(x) = 2\left(x \cdot 3x + x \cdot y + 3x \cdot y\right) = 2\left(3x^2 + 4x(12 - 4x)\right) = -26x^2 + 96x.$$