Matura 2022 matematyka podstawowa - arkusz, odpowiedzi i rozwiązania

Najpierw upraszczamy pierwiastek: $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$, więc $2\sqrt{8} = 4\sqrt{2}$. Wtedy

$$\left(4\sqrt{2} - 3\sqrt{2}\right)^2 = \left(\sqrt{2}\right)^2 = 2.$$

To samo wychodzi ze wzoru skróconego mnożenia: $32 - 48 + 18 = 2$, gdzie $48 = 2 \cdot 2\sqrt{8} \cdot 3\sqrt{2}$ to podwojony iloczyn. Pułapka C ($26 = 50 - 24$) to zgubienie dwójki w podwojonym iloczynie.

Odpowiedź: A. Zobacz: pierwiastek arytmetyczny oraz zadania z pierwiastków.

Z warunku $2x = 3y$ mamy $x = \frac{3}{2}y$. Podstawiamy:

$$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{\frac{9}{4}y^2 + y^2}{\frac{3}{2}y^2} = \frac{\frac{13}{4}}{\frac{3}{2}} = \frac{13}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{13}{6}.$$

Sprawdzenie dla $x = 3$, $y = 2$: $\frac{9 + 4}{6} = \frac{13}{6}$. Odpowiedź C to odwrotność wyniku, a D - sam stosunek $\frac{x}{y}$.

Odpowiedź: B. Zobacz: działania na wyrażeniach algebraicznych.

Liczymy oba logarytmy z definicji: $\log_4 2 = \frac{1}{2}$, bo $4^{1/2} = 2$, oraz $\log_4 8 = \frac{3}{2}$, bo $4^{3/2} = 8$. Zatem

$$4\log_4 2 + 2\log_4 8 = 4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{3}{2} = 2 + 3 = 5.$$

To samo z praw działań: $\log_4 2^4 + \log_4 8^2 = \log_4 (16 \cdot 64) = \log_4 4^5 = 5$. Pułapka A to „dodawanie liczb logarytmowanych” ($2 + 8 = 10$) - takiego prawa nie ma.

Odpowiedź: C. Zobacz: prawa logarytmów - zadania.

Każda obniżka o $10\%$ mnoży cenę przez $0{,}9$, więc po dwóch obniżkach cena to $0{,}81$ ceny początkowej $x$:

$$0{,}9 \cdot 0{,}9 \cdot x = 78\,732 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{78\,732}{0{,}81} = 97\,200.$$

Pułapki: odpowiedź C to doliczenie $2 \cdot 10\%$ do ceny końcowej ($78\,732 \cdot 1{,}21 \approx 95\,266$), a D - doliczenie $20\%$ ($78\,732 \cdot 1{,}2 \approx 94\,478$). Procenty liczymy od ceny przed obniżką, więc trzeba dzielić, a nie mnożyć.

Odpowiedź: B. Zobacz: podwyżki i obniżki - zadania.

Potęga o wykładniku będącym sumą to iloczyn potęg o tej samej podstawie:

$$3^{2 + \frac{1}{4}} = 3^2 \cdot 3^{\frac{1}{4}} = 3^2 \cdot \sqrt[4]{3}.$$

Pułapka C zamienia iloczyn na sumę. Odpowiedź B to $3^{3/4}$ - inny wykładnik.

Odpowiedź: A. Zobacz: potęga o wykładniku wymiernym.

Dzielimy równania przez $11$ i $22$:

$$x - y = \frac{1}{11}, \qquad x + y = -\frac{1}{22}.$$

Dodajemy stronami: $2x = \frac{2}{22} - \frac{1}{22} = \frac{1}{22}$, więc $x_0 = \frac{1}{44} > 0$. Odejmujemy stronami: $2y = -\frac{1}{22} - \frac{2}{22} = -\frac{3}{22}$, więc $y_0 = -\frac{3}{44} < 0$.

Sprawdzenie: $11 \cdot \frac{1}{44} - 11 \cdot \left(-\frac{3}{44}\right) = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1$.

Odpowiedź: B. Zobacz: metoda przeciwnych współczynników.

Mnożymy obie strony przez $15$ (wspólny mianownik, liczba dodatnia):

$$6 - 5x > 3x \quad\Longrightarrow\quad 6 > 8x \quad\Longrightarrow\quad x < \frac{3}{4}.$$

Pułapka D to przedział z odwróconym zwrotem nierówności - tu dzielimy przez dodatnie $8$, więc znak się nie zmienia.

Odpowiedź: C. Zobacz: nierówności z jedną niewiadomą.

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś czynnik: $x = 0$, $x^2 = 9$ (czyli $x = 3$ lub $x = -3$) albo $x = -1$. Rozwiązania to $-3$, $-1$, $0$, $3$, a ich iloczyn

$$(-3) \cdot (-1) \cdot 0 \cdot 3 = 0.$$

Pułapka: pominięcie rozwiązania $x = 0$ z czynnika $2x$ daje odpowiedź D ($9$).

Odpowiedź: C. Zobacz: równania wielomianowe.

Środkowy fragment wykresu to odcinek prostej przechodzącej przez $(-4, -3)$ i $(3, 4)$ - jej wzór to $y = x + 1$. Odczytujemy:

• $f(-3) = -3 + 1 = -2$,
• $f(0) = 1$,
• $f(4) = 4$ (poziomy odcinek na wysokości $4$).

$$f(-3) \cdot f(0) \cdot f(4) = (-2) \cdot 1 \cdot 4 = -8.$$

Pułapka: miejsce zerowe funkcji to $-1$, a nie $0$ - dlatego $f(0) \ne 0$ i odpowiedź C odpada.

Odpowiedź: B. Zobacz: odczytywanie własności z wykresu.

Porównujemy charakterystyczne punkty: wierzchołki łamanej $f$ to $(-4, 1)$, $(-2, -1)$, $(0, 2)$, $(5, -3)$, a łamanej $g$ - $(-6, 1)$, $(-4, -1)$, $(-2, 2)$, $(3, -3)$. Drugie współrzędne są te same, a pierwsze zmniejszyły się o $2$: wykres przesunięto o $2$ jednostki w lewo.

Przesunięcie w lewo o $2$ to $g(x) = f(x + 2)$ - sprawdzenie: $g(-2) = f(0) = 2$. Pułapka B: wzór $f(x - 2)$ przesuwa wykres w prawo. Odpowiedzi A i C to przesunięcia w pionie, a wykresy mają te same wartości największą i najmniejszą.

Odpowiedź: D. Zobacz: przesunięcie wykresu wzdłuż osi Ox.

Przyrównujemy wzór do zera:

$$-\frac{1}{3}(x + 3) + 5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{3}(x + 3) = 5 \quad\Longrightarrow\quad x + 3 = 15 \quad\Longrightarrow\quad x = 12.$$

Sprawdzenie: $f(12) = -\frac{1}{3} \cdot 15 + 5 = 0$. Pułapka A: $-3$ zeruje tylko nawias, a nie całą funkcję.

Odpowiedź: D. Zobacz: miejsce zerowe funkcji.

Postać kanoniczna to $f(x) = a(x - p)^2 + q$, gdzie $(p, q)$ to wierzchołek, a $a$ - współczynnik przy $x^2$ (ten sam w każdej postaci). Tu $a = 3$, $p = -3$, $q = 2$:

$$f(x) = 3\left(x - (-3)\right)^2 + 2 = 3(x + 3)^2 + 2.$$

Pułapki: A ma zły znak w nawiasie, a C i D gubią współczynnik $a = 3$.

Odpowiedź: B. Zobacz: postać kanoniczna funkcji kwadratowej.

Dla $n \ge 1$ można skrócić przez $n$: $a_n = 2n - 30$. Zatem

$$a_7 = 2 \cdot 7 - 30 = -16.$$

Bez skracania: $\frac{2 \cdot 49 - 210}{7} = \frac{-112}{7} = -16$. Pułapka: podzielenie przez $n$ tylko jednego składnika licznika - całe wyrażenie $2n^2 - 30n$ dzielimy przez $n$.

Odpowiedź: D. Zobacz: ciąg liczbowy.

Między wyrazami $a_5$ i $a_{10}$ jest $10 - 5 = 5$ kroków o długości $r$:

$$a_{10} = a_5 + 5r \quad\Longrightarrow\quad -66 = -31 + 5r \quad\Longrightarrow\quad r = \frac{-35}{5} = -7.$$

Ciąg maleje, więc różnica jest ujemna - odpowiedzi C i D odpadają.

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg arytmetyczny.

W ciągu geometrycznym $a_5 = a_3 q^2$, więc

$$9a_3q^2 = 4a_3 \quad\Longrightarrow\quad q^2 = \frac{4}{9} \quad\Longrightarrow\quad q = \frac{2}{3} \ \text{lub}\ q = -\frac{2}{3}.$$

(Dzielenie przez $a_3$ jest dozwolone, bo $a_3 > 0$.) Ujemny iloraz dawałby wyrazy na przemian dodatnie i ujemne, a wszystkie mają być dodatnie - zostaje $q = \frac{2}{3}$. Pułapka B: odwrotność ilorazu (z równania $4q^2 = 9$).

Odpowiedź: A. Zobacz: ciąg geometryczny.

Kąty $12°$ i $78°$ dopełniają się do $90°$, więc $\sin 78° = \cos 12°$ oraz $\cos 78° = \sin 12°$. Stąd

$$\cos 12° \cdot \cos 12° + \sin 12° \cdot \sin 12° = \cos^2 12° + \sin^2 12° = 1.$$

To jedynka trygonometryczna - wzory na sinus sumy nie są potrzebne (choć dają ten sam wynik: $\sin(78° + 12°) = \sin 90° = 1$).

Odpowiedź: D. Zobacz: tożsamości trygonometryczne.

Krok 1. Kąt wpisany. Kąt $BAC$ jest wpisany w okrąg i oparty na tym samym łuku $BC$ co kąt środkowy $BSC$, więc ma połowę jego miary: $|\angle BAC| = \frac{\alpha}{2}$.

Krok 2. Trójkąt $ABD$. Punkt $D$ leży na odcinku $AC$, więc $|\angle BAD| = |\angle BAC| = \frac{\alpha}{2}$. Suma kątów trójkąta $ABD$:

$$|\angle ABD| = 180° - \frac{\alpha}{2} - \gamma.$$

Pułapka C: użycie kąta środkowego $\alpha$ zamiast wpisanego $\frac{\alpha}{2}$. (Na rysunku $\alpha = 150°$, $\gamma = 45°$, więc $|\angle ABD| = 180° - 75° - 45° = 60°$.)

Odpowiedź: B. Zobacz: koła i kąty.

Krok 1. Kąt środkowy. W rombie sąsiednie kąty sumują się do $180°$, więc kąt rozwarty przy wierzchołku $S$ ma miarę $|\angle ASB| = 180° - 60° = 120°$.

Krok 2. Wycinek koła. Zakreskowana figura to romb razem z dwoma odcinkami koła nad bokami $AP$ i $PB$ - czyli wycinek koła o promieniu $6$ i kącie środkowym $120°$:

$$P = \frac{120°}{360°} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi.$$

Pułapka: odpowiedź A ($6\pi$) to wycinek o kącie $60°$ - ten kąt jest przy wierzchołku $A$, a nie przy środku okręgu.

Odpowiedź: D. Zobacz: pole koła i wycinka.

Wysokość trójkąta równobocznego o boku $a$ to $\frac{a\sqrt{3}}{2}$:

$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \quad\Longrightarrow\quad a = 12, \qquad P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{144\sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3}.$$

Pułapka C: wstawienie wysokości $6\sqrt{3}$ w miejsce boku we wzorze na pole daje $\frac{108\sqrt{3}}{4} = 27\sqrt{3}$.

Odpowiedź: D. Zobacz: pole trójkąta - wzory.

Pole równoległoboku to iloczyn boków i sinusa kąta między nimi:

$$P = 6 \cdot 10 \cdot \sin 120° = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}.$$

Sinus kąta rozwartego i ostrego, które sumują się do $180°$, jest ten sam: $\sin 120° = \sin 60°$. Pułapka B to użycie $\cos 60° = \frac{1}{2}$, a D - pominięcie sinusa.

Odpowiedź: A. Zobacz: pole prostokąta i równoległoboku.

Prosta przez początek układu ma wzór $y = ax$. Z punktu $A$: $6 = a \cdot (-2)$, więc $a = -3$. Wtedy

$$b = -3 \cdot 3 = -9.$$

Pułapka A gubi znak współczynnika: punkty $A$ i $B$ leżą po przeciwnych stronach osi $Oy$, więc na prostej przez $(0, 0)$ mają drugie współrzędne przeciwnych znaków.

Odpowiedź: B. Zobacz: proporcjonalność prosta.

Proste $y = a_1x + b_1$ i $y = a_2x + b_2$ są prostopadłe, gdy $a_1 \cdot a_2 = -1$. Sprawdzamy pary z odpowiedzi:

• $k$, $l$: $(-1) \cdot \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$,
• $k$, $n$: $(-1) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3}$,
• $l$, $m$: $\frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$ - prostopadłe,
• $m$, $n$: $\left(-\frac{3}{2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) = 1$.

Pułapka D: współczynniki $m$ i $n$ są odwrotne, ale nie przeciwne - iloczyn wynosi $1$, nie $-1$.

Odpowiedź: C. Zobacz: współczynnik kierunkowy prostej.

Pierwsza współrzędna środka odcinka to średnia pierwszych współrzędnych końców:

$$\frac{4 + b}{2} = -12 \quad\Longrightarrow\quad 4 + b = -24 \quad\Longrightarrow\quad b = -28.$$

Pułapka C ($b = -24$) to pominięcie pierwszej współrzędnej punktu $K$ w średniej.

Odpowiedź: A. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych.

Sąsiednie wierzchołki wyznaczają bok kwadratu:

$$|AB| = \sqrt{(4 + 4)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}.$$

Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$: $4\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{10}$. Pułapka C to długość boku, a nie przekątnej.

Odpowiedź: A. Zobacz: odcinek w układzie współrzędnych.

Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych, a wysokość graniastosłupa to $10 - 2 = 8$ cm:

$$P_p = \frac{7 \cdot 10}{2} = 35 \text{ cm}^2, \qquad V = P_p \cdot H = 35 \cdot 8 = 280 \text{ cm}^3.$$

Pułapki: A pomija dzielenie przez $2$ w polu rombu, a C dzieli przez $3$ jak przy ostrosłupie.

Odpowiedź: B. Zobacz: objętość wielościanów.

Ostrosłup ma cztery ściany.

Krok 1. Trzy ściany przy wierzchołku $F$. Trójkąty $EFG$, $EFB$ i $GFB$ to połówki ścian sześcianu - trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych $a$. Każdy ma pole $\frac{a^2}{2}$, razem $\frac{3}{2}a^2$.

Krok 2. Ściana $EGB$. Jej boki to przekątne ścian sześcianu, każda długości $a\sqrt{2}$, więc to trójkąt równoboczny o boku $a\sqrt{2}$:

$$P_{EGB} = \frac{\left(a\sqrt{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2.$$

Krok 3. Suma.

$$P_c = \frac{3}{2}a^2 + \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{2} \cdot a^2.$$

Pułapka C to pole bez czwartej ściany $EGB$.

Odpowiedź: D. Zobacz: siatka i pole powierzchni wielościanu.

Liczba podzielna przez $5$ kończy się cyfrą $0$ albo $5$, a nieparzysta - tylko cyfrą $5$. Regułą mnożenia:

• cyfra tysięcy: $9$ możliwości (bez zera),
• cyfra setek i dziesiątek: po $10$ możliwości (cyfry mogą się powtarzać),
• cyfra jedności: $1$ możliwość ($5$).

Pułapka C liczy także liczby zakończone zerem (parzyste), a D zakłada, że cyfry nie mogą się powtarzać - w treści nie ma takiego warunku.

Odpowiedź: B ($9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 1 = 900$). Zobacz: reguła mnożenia i dodawania.

Suma sześciu liczb to $6 \cdot 5 = 30$:

$$2x + 4 + 6 + 8 + 11 + 13 = 30 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 42 = 30 \quad\Longrightarrow\quad x = -6.$$

Sprawdzenie: $\frac{-12 + 42}{6} = 5$. Pułapka: wynik $2x = -12$ to wartość pierwszej liczby zestawu, a pytanie dotyczy $x$ - trzeba jeszcze podzielić przez $2$.

Odpowiedź: C. Zobacz: średnia z próby.

Krok 1. Postać ogólna i pierwiastki. Przenosimy $7$ na lewą stronę: $3x^2 - 2x - 16 \ge 0$.

$$\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16) = 4 + 192 = 196, \qquad \sqrt{\Delta} = 14,$$

$$x_1 = \frac{2 - 14}{6} = -2, \qquad x_2 = \frac{2 + 14}{6} = \frac{8}{3}.$$

Krok 2. Odczyt z paraboli. Ramiona paraboli $y = 3x^2 - 2x - 16$ są skierowane w górę, więc wartości nieujemne przyjmuje na zewnątrz przedziału między pierwiastkami, łącznie z pierwiastkami.

Pułapka: rozwiązanie nierówności $3x^2 - 2x - 9 \ge 0$, czyli bez przeniesienia siódemki.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -2] \cup \left[\frac{8}{3}, +\infty\right)$. Zobacz: nierówności kwadratowe.

Krok 1. Różnica ciągu. $a_4 = a_1 + 3r$, więc $8 = -1 + 3r$ i $r = 3$.

Krok 2. Setny wyraz i suma.

$$a_{100} = a_1 + 99r = -1 + 297 = 296, \qquad S_{100} = \frac{a_1 + a_{100}}{2} \cdot 100 = \frac{-1 + 296}{2} \cdot 100 = 14\,750.$$

To samo ze wzoru $S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n = \frac{-2 + 297}{2} \cdot 100$. Pułapka: $a_{100} = a_1 + 100r$ (o jeden krok za dużo).

Odpowiedź: $S_{100} = 14\,750$. Zobacz: suma ciągu arytmetycznego.

Krok 1. Przekształcenia równoważne. Mnożymy obie strony przez $4$ (liczba dodatnia):

$$2a^2 + 2b^2 > a^2 + 2ab + b^2 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2 - 2ab + b^2 > 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (a - b)^2 > 0.$$

Krok 2. Wniosek z założenia. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a równy zeru tylko dla zera. Z założenia $b \ne a$, więc $a - b \ne 0$ i $(a - b)^2 > 0$. Ponieważ wszystkie przejścia były równoważnościami, wyjściowa nierówność jest prawdziwa. To kończy dowód.

Bez powołania się na założenie $a \ne b$ dowód jest niepełny - dla $a = b$ obie strony są równe.

Odpowiedź: nierówność jest równoważna nierówności $(a - b)^2 > 0$, prawdziwej dla $a \ne b$. Zobacz: średnie i nierówności między nimi.

Krok 1. Związek sinusa z cosinusem. Z definicji tangensa $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = 2$, czyli $\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin\alpha$.

Krok 2. Jedynka trygonometryczna.

$$\sin^2\alpha + \frac{1}{4}\sin^2\alpha = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{4}\sin^2\alpha = 1 \quad\Longrightarrow\quad \sin^2\alpha = \frac{4}{5}.$$

Inna droga: trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $1$ i $2$ ma przeciwprostokątną $\sqrt{5}$, więc $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$ i $\sin^2\alpha = \frac{4}{5}$. Pułapka: podanie $\sin\alpha$ zamiast $\sin^2\alpha$.

Odpowiedź: $\sin^2\alpha = \frac{4}{5}$. Zobacz: trygonometria kąta ostrego.

Krok 1. Oznaczenia. Niech $|\angle BAC| = \alpha$. Trójkąt jest równoramienny z podstawą $AB$, więc $|\angle ABC| = \alpha$ i $|\angle ACB| = 180° - 2\alpha$. Dwusieczna dzieli kąt $BAC$ na połowy: $|\angle BAD| = \frac{\alpha}{2}$.

Krok 2. Kąty trójkąta $BDA$. Ma on kąt $\alpha$ przy $B$ (wspólny z trójkątem $ABC$), kąt $\frac{\alpha}{2}$ przy $A$ i kąt $180° - \frac{3\alpha}{2}$ przy $D$.

Krok 3. Podobieństwo. Trójkąty podobne mają te same kąty. Kąt $\frac{\alpha}{2}$ trójkąta $BDA$ nie może równać się $\alpha$, więc musi odpowiadać kątowi przy $C$:

$$\frac{\alpha}{2} = 180° - 2\alpha \quad\Longrightarrow\quad \frac{5\alpha}{2} = 180° \quad\Longrightarrow\quad \alpha = 72°.$$

Sprawdzenie: trójkąt $ABC$ ma kąty $72°$, $72°$, $36°$, a trójkąt $BDA$ - kąty $72°$ (przy $B$), $36°$ (przy $A$) i $72°$ (przy $D$). Pułapka: założenie, że $AD$ jest wysokością - dwusieczna kąta przy podstawie nie jest prostopadła do ramienia.

Odpowiedź: $|\angle BAC| = 72°$. Zobacz: podobieństwo trójkątów.

Krok 1. Wszystkie wyniki. Losujemy kolejno ze zwracaniem, więc wynikiem jest para uporządkowana: $|\Omega| = 9 \cdot 9 = 81$.

Krok 2. Wyniki sprzyjające. Rozkłady liczby $24$ na iloczyn dwóch liczb od $1$ do $9$ to $3 \cdot 8$ i $4 \cdot 6$ ($2 \cdot 12$ i $1 \cdot 24$ odpadają). Każdy daje dwie pary uporządkowane:

$$A = \{(3, 8),\ (8, 3),\ (4, 6),\ (6, 4)\}, \qquad |A| = 4.$$