matematyka.net Polski Portal Matematyczny

Kalkulator układów równań liniowych

Kalkulator układów równań rozwiązuje układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x i y - metodą podstawiania, metodą przeciwnych współczynników albo wyznacznikami - i rozpisuje rozwiązanie krok po kroku, w wartościach dokładnych (ułamkach). Rozpoznaje układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny, a obie proste rysuje w układzie współrzędnych. Równania wpisujesz tak jak w zeszycie, także z nawiasami i niewiadomymi po obu stronach: y = 2x + 1, x + 4 = 3(y + 4). Metody i słowa są te same co w lekcjach działu układy równań liniowych.

Niewiadome x i y, po dowolnej stronie znaku „=”. Liczby całkowite, dziesiętne (0,5 albo 0.5) i ułamki (3/4), nawiasy, mnożenie bez znaku (2x, 3(y + 4)) albo ze znakiem * lub ·.

Przykłady z lekcji:

Wyniki dla układu x + y = 152x + 3y = 38

WielkośćWynik
Układx + y = 152x + 3y = 38
Rodzaj układuoznaczony - jedno rozwiązanie
Rozwiązaniex = 7
y = 8
Prostey = −x + 15 i y = −(2/3)x + 38/3: przecinają się
Wyznacznik WW = 1 ≠ 0
515510150xy(7, 8)y = −x + 15y = −(2/3)x + 38/3
Proste y = −x + 15 i y = −(2/3)x + 38/3 przecinają się w punkcie (7, 8) - to rozwiązanie układu.

Rozwiązanie krok po kroku

Układ w postaci ax + by = c

x + y = 152x + 3y = 38

  1. Równanie 1: ma już postać ax + by = c: a = 1, b = 1, c = 15.
  2. Równanie 2: ma już postać ax + by = c: a = 2, b = 3, c = 38.

Rozwiązanie: metoda podstawiania

x = 7, y = 8

  1. Krok 1. Z pierwszego równania wyznaczamy y (ma współczynnik 1 - unikniemy ułamków): x + y = 15 ⟹ y = 15 − x.
  2. Krok 2. Podstawiamy wyrażenie 15 − x w miejsce y do drugiego równania (całe wyrażenie w nawiasie): 2x + 3(15 − x) = 38.
  3. Krok 3. Rozwiązujemy równanie z jedną niewiadomą: 2x + 45 − 3x = 38 ⟹ −x + 45 = 38 ⟹ −x = −7 ⟹ x = 7.
  4. Obliczamy y, podstawiając x = 7 do wzoru z kroku 1: y = 15 − x = 15 − 7 = 8.
  5. Krok 4. Sprawdzenie - podstawiamy x = 7, y = 8 do obu równań: 7 + 8 = 15 ✓ oraz 2 · 7 + 3 · 8 = 14 + 24 = 38 ✓.
  6. Odpowiedź: x = 7, y = 8. Układ jest oznaczony (ma jedno rozwiązanie).

Rodzaj układu

układ oznaczony - jedno rozwiązanie

  1. Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie - parę (x, y) = (7, 8).
  2. Wyznacznik główny W = 1 ≠ 0 - to zawsze oznacza układ oznaczony.

Interpretacja graficzna - dwie proste

proste przecinają się w punkcie (7, 8)

  1. Prosta 1: x + y = 15 ⟹ y = −x + 15.
  2. Prosta 2: 2x + 3y = 38 ⟹ y = −(2/3)x + 38/3.
  3. Współczynniki kierunkowe są różne (−1 i −2/3), więc proste się przecinają.
  4. Punkt przecięcia (7, 8) to rozwiązanie układu.

Trzy metody rozwiązywania układu równań

Każdy układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi po uporządkowaniu ma postać

{a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

a jego rozwiązanie to para liczb (x, y), która spełnia oba równania naraz. Kalkulator najpierw sprowadza każde równanie do tej postaci, a potem rozwiązuje układ wybraną metodą:

Wynik jest zawsze ten sam - każda poprawna metoda prowadzi do tego samego rozwiązania.

Wzory Cramera dla układu dwóch równań

W=∣a1b1a2b2∣=a1b2−b1a2W = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - b_1a_2
Wx=∣c1b1c2b2∣=c1b2−b1c2W_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} = c_1b_2 - b_1c_2
Wy=∣a1c1a2c2∣=a1c2−c1a2W_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix} = a_1c_2 - c_1a_2
W≠0:x=WxW,y=WyWW \ne 0: \quad x = \frac{W_x}{W}, \qquad y = \frac{W_y}{W}

W=0W = 0 i Wx=Wy=0W_x = W_y = 0 - układ nieoznaczony; W=0W = 0, ale któryś z wyznaczników Wx,WyW_x, W_y różny od zera - układ sprzeczny.

Układ oznaczony, nieoznaczony i sprzeczny

Układ dwóch równań liniowych ma jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele albo żadnego - innych możliwości nie ma. Każdy przypadek widać i w rachunku, i na wykresie:

UkładW rachunkuProstePrzykład
oznaczony: jedno rozwiązaniewychodzi x = …, y = …przecinają sięx + y = 4, x − y = 2: (3, 1)
nieoznaczony: nieskończenie wielezdanie prawdziwe (4 = 4)pokrywają sięx − 3y = 2, 2x − 6y = 4: (2 + 3y, y)
sprzeczny: brak rozwiązańzdanie fałszywe (6 = 7)równoległe2x + y = 3, 4x + 2y = 7

Bez rozwiązywania rozpoznasz rodzaj układu po postaci kierunkowej y = ax + b obu prostych: różne współczynniki kierunkowe - układ oznaczony; równe współczynniki i różne wyrazy wolne - sprzeczny; wszystko równe - nieoznaczony. Kalkulator pokazuje to w sekcji „Interpretacja graficzna”, a lekcja graficzne rozwiązywanie układów równań wyjaśnia, skąd to się bierze.

Układy równań w zadaniach tekstowych

W zadaniu tekstowym najpierw oznacz niewiadome, potem każdą informację z treści zapisz jako osobne równanie - i dopiero taki układ wpisz do kalkulatora. Nie musisz niczego przekształcać: 10y + x = 10x + y + 27 (liczba z przestawionymi cyframi) albo x + 4 = 3(y + 4) (wiek za 4 lata) kalkulator uporządkuje sam. Wynik zawsze sprawdź z treścią zadania - na przykład czy cena wyszła dodatnia. Przykłady krok po kroku są w lekcji zastosowanie układów równań.

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania?

Z jednego równania wyznacz jedną niewiadomą (najlepiej tę ze współczynnikiem 1 lub −1), podstaw otrzymane wyrażenie - w nawiasie - do drugiego równania, rozwiąż powstałe równanie z jedną niewiadomą i oblicz drugą niewiadomą ze wzoru. Dla x + y = 15 i 2x + 3y = 38: y = 15 − x, 2x + 3(15 − x) = 38, więc x = 7 i y = 8.

Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników?

Pomnóż jedno albo oba równania (obie strony!) przez takie liczby, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodaj równania stronami - ta niewiadoma zniknie. Dla 3x + 2y = 7 i 4x − 3y = −2 mnożymy pierwsze przez 3, drugie przez 2: 9x + 6y = 21 i 8x − 6y = −4, po dodaniu 17x = 17, czyli x = 1, a stąd y = 2.

Jak sprawdzić, czy układ równań jest oznaczony, nieoznaczony czy sprzeczny?

Rozwiązuj go dowolną metodą. Jeśli wyjdzie jedna para liczb, układ jest oznaczony. Jeśli niewiadome znikną i zostanie zdanie prawdziwe (np. 4 = 4), układ jest nieoznaczony - ma nieskończenie wiele rozwiązań. Jeśli zostanie zdanie fałszywe (np. 6 = 7), układ jest sprzeczny. Szybciej: wyznacznik W = a₁b₂ − b₁a₂ różny od zera oznacza układ oznaczony.

Jak zapisać rozwiązanie układu nieoznaczonego?

Wyznacz jedną niewiadomą z dowolnego równania i zapisz pary z drugą niewiadomą jako dowolną liczbą. Dla x + y = 4 i 2x + 2y = 8 rozwiązaniami są wszystkie pary (x, 4 − x), gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą, np. (0, 4), (1, 3), (2, 2).

Co to jest wyznacznik układu równań?

To liczba W = a₁b₂ − b₁a₂ obliczona ze współczynników przy x i y. Gdy W ≠ 0, układ ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = Wₓ/W, y = W_y/W (wzory Cramera), gdzie Wₓ i W_y powstają przez zastąpienie kolumny współczynników przy x albo przy y kolumną wyrazów wolnych. Wyznaczników nie ma w podstawie programowej liceum, ale to najszybszy sposób sprawdzenia wyniku.

Jak rozwiązać układ równań graficznie?

Każde równanie przekształć do postaci y = ax + b i narysuj obie proste w jednym układzie współrzędnych. Współrzędne punktu przecięcia to rozwiązanie układu. Proste równoległe oznaczają układ sprzeczny, a pokrywające się - nieoznaczony. Odczyt z rysunku bywa niedokładny, dlatego wynik sprawdza się rachunkiem.

Co zrobić, gdy w równaniu są nawiasy albo ułamki?

Najpierw uporządkuj każde równanie do postaci ax + by = c: opuść nawiasy, przenieś niewiadome na lewą stronę, a liczby na prawą, a ułamki usuń, mnożąc obie strony przez wspólny mianownik. Na przykład x + 4 = 3(y + 4) to x + 4 = 3y + 12, czyli x − 3y = 8. Kalkulator robi to sam i pokazuje każdy krok.

Przećwicz i doczytaj

https://matematyka.net/szkola-srednia/uklady-rownan-liniowych/kalkulator-ukladow-rownan · matematyka.net