Tangens sumy: tg α = 1/2, tg β = 1/3 - wykaż, że α + β = 45°

Krok 1. Tangens sumy. Oba tangensy istnieją, a ich iloczyn $\frac{1}{6}$ jest różny od $1$, więc wzór działa:

$\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{6}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}} = 1.$

Krok 2. Od tangensa do kąta. Tangens równy $1$ mają kąty $45^\circ + k \cdot 180^\circ$ - samo $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = 1$ jeszcze nie wystarcza. Potrzebny jest przedział, w którym leży $\alpha + \beta$.

Oba kąty są ostre, a ich tangensy są mniejsze od $1 = \operatorname{tg} 45^\circ$. Tangens rośnie w przedziale $(0^\circ;\ 90^\circ)$, więc $\alpha < 45^\circ$ i $\beta < 45^\circ$, czyli $0^\circ < \alpha + \beta < 90^\circ$. W tym przedziale tangens równy $1$ ma tylko kąt $45^\circ$.

Krok 3. b) Tangens różnicy.

$\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{6}} = \frac{1}{7}.$

Uwaga do kroku 2: gdyby wiadomo było tylko, że kąty są ostre, suma mogłaby leżeć w $(0^\circ;\ 180^\circ)$ - tam też jest tylko jeden kąt o tangensie $1$. Wynik $225^\circ$ odpada w każdym przypadku, bo suma dwóch kątów ostrych jest mniejsza od $180^\circ$.

Odpowiedź. a) $\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = 1$ i $0^\circ < \alpha + \beta < 90^\circ$, więc $\alpha + \beta = 45^\circ$; b) $\operatorname{tg}(\alpha - \beta) = \frac{1}{7}$.