Główna › Zadania › Wzory i równania trygonometryczne › Wzory na sumę i różnicę kątów › sin(α − β) i cos(α + β), gdy sin α = 8/17 w II ćwiartce i cos β = −3/5 w III sin(α − β) i cos(α + β), gdy sin α = 8/17 w II ćwiartce i cos β = −3/5 w III Szkoła średnia średnie
Wiadomo, że sin α = 8 17 \sin\alpha = \frac{8}{17} sin α = 17 8 α ∈ ( π 2 ; π ) \alpha \in \left(\frac{\pi}{2};\ \pi\right) α ∈ ( 2 π ; π ) cos β = − 3 5 \cos\beta = -\frac{3}{5} cos β = − 5 3 β ∈ ( π ; 3 π 2 ) \beta \in \left(\pi;\ \frac{3\pi}{2}\right) β ∈ ( π ; 2 3 π )
a) sin ( α − β ) \sin(\alpha - \beta) sin ( α − β )
b) cos ( α + β ) \cos(\alpha + \beta) cos ( α + β )
c) cos ( α − β ) \cos(\alpha - \beta) cos ( α − β )
Rozwiązanie Pokaż rozwiązanie krok po kroku Ukryj rozwiązanie Krok 1. Brakujący cosinus kąta α. Z jedynki: cos 2 α = 1 − 64 289 = 225 289 \cos^2\alpha = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289} cos 2 α = 1 − 289 64 = 289 225 α \alpha α cos α = − 15 17 \cos\alpha = -\frac{15}{17} cos α = − 17 15
Krok 2. Brakujący sinus kąta β. sin 2 β = 1 − 9 25 = 16 25 \sin^2\beta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} sin 2 β = 1 − 25 9 = 25 16 β \beta β sin β = − 4 5 \sin\beta = -\frac{4}{5} sin β = − 5 4
Zestaw danych: sin α = 8 17 \sin\alpha = \frac{8}{17} sin α = 17 8 cos α = − 15 17 \cos\alpha = -\frac{15}{17} cos α = − 17 15 sin β = − 4 5 \sin\beta = -\frac{4}{5} sin β = − 5 4 cos β = − 3 5 \cos\beta = -\frac{3}{5} cos β = − 5 3 85 85 85
Krok 3. a) Sinus różnicy.
sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β = 8 17 ⋅ ( − 3 5 ) − ( − 15 17 ) ⋅ ( − 4 5 ) = − 24 85 − 60 85 = − 84 85 . \sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta = \frac{8}{17} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) - \left(-\frac{15}{17}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{24}{85} - \frac{60}{85} = -\frac{84}{85}. sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β = 17 8 ⋅ ( − 5 3 ) − ( − 17 15 ) ⋅ ( − 5 4 ) = − 85 24 − 85 60 = − 85 84 .
Krok 4. b) Cosinus sumy.
cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = 45 85 − ( − 32 85 ) = 77 85 . \cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta = \frac{45}{85} - \left(-\frac{32}{85}\right) = \frac{77}{85}. cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β = 85 45 − ( − 85 32 ) = 85 77 .
Krok 5. c) Cosinus różnicy. Te same iloczyny, tylko z plusem:
cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β = 45 85 − 32 85 = 13 85 . \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta = \frac{45}{85} - \frac{32}{85} = \frac{13}{85}. cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β = 85 45 − 85 32 = 85 13 .
Krok 6. Sprawdzenie. Dla kąta α − β \alpha - \beta α − β ( − 84 85 ) 2 + ( 13 85 ) 2 = 7056 + 169 7225 = 1 \left(-\frac{84}{85}\right)^2 + \left(\frac{13}{85}\right)^2 = \frac{7056 + 169}{7225} = 1 ( − 85 84 ) 2 + ( 85 13 ) 2 = 7225 7056 + 169 = 1
Najczęstszy błąd to pominięcie znaku: kto weźmie cos α = + 15 17 \cos\alpha = +\frac{15}{17} cos α = + 17 15 sin β = + 4 5 \sin\beta = +\frac{4}{5} sin β = + 5 4 ujemne są oba : sinus i cosinus.
Odpowiedź. a) sin ( α − β ) = − 84 85 \sin(\alpha - \beta) = -\frac{84}{85} sin ( α − β ) = − 85 84 cos ( α + β ) = 77 85 \cos(\alpha + \beta) = \frac{77}{85} cos ( α + β ) = 85 77 cos ( α − β ) = 13 85 \cos(\alpha - \beta) = \frac{13}{85} cos ( α − β ) = 85 13
Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →
Podobne zadania 