Oblicz bez tablic cos 75° + cos 15° oraz sin 105° − sin 15°

Krok 1. Wzory. Korzystamy z wzorów na sumę cosinusów i różnicę sinusów:

$\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\cos\frac{\alpha - \beta}{2}, \qquad \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha + \beta}{2}\sin\frac{\alpha - \beta}{2}.$

Krok 2. a) Połowa sumy kątów: $\frac{75^\circ + 15^\circ}{2} = 45^\circ$, połowa różnicy: $\frac{75^\circ - 15^\circ}{2} = 30^\circ$.

$\cos 75^\circ + \cos 15^\circ = 2\cos 45^\circ\cos 30^\circ = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}.$

Krok 3. b) Połowa sumy: $\frac{105^\circ + 15^\circ}{2} = 60^\circ$, połowa różnicy: $\frac{105^\circ - 15^\circ}{2} = 45^\circ$.

$\sin 105^\circ - \sin 15^\circ = 2\cos 60^\circ\sin 45^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 4. Kontrola przybliżona. $\cos 75^\circ \approx 0{,}259$ i $\cos 15^\circ \approx 0{,}966$ dają razem $1{,}225 \approx \frac{\sqrt{6}}{2}$, a $\sin 105^\circ \approx 0{,}966$ i $\sin 15^\circ \approx 0{,}259$ dają różnicę $0{,}707 \approx \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Odpowiedź. a) $\cos 75^\circ + \cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6}}{2}$; b) $\sin 105^\circ - \sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Uwaga: w b) łatwo pomylić wzory i napisać $2\sin 60^\circ\cos 45^\circ$ - to wzór na sumę sinusów. Przy różnicy sinusów cosinus stoi przy połowie sumy, a sinus przy połowie różnicy.