Pochodna równa zero, a ekstremum brak - pułapka

Krok 1. Pochodna.

$f'(x) = 3x^2 + 6x + 3 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3(x + 1)^2.$

Krok 2. Miejsce zerowe pochodnej. $f'(x) = 0$ tylko dla $x = -1$ (pierwiastek podwójny).

Krok 3. Znak pochodnej. Kwadrat jest nieujemny, więc $f'(x) = 3(x + 1)^2 \ge 0$ dla każdego $x$, a równość zachodzi wyłącznie w $x = -1$. Po obu stronach punktu $-1$ pochodna jest dodatnia - nie zmienia znaku.

Krok 4. Monotoniczność. Pochodna dodatnia wszędzie poza jednym punktem oznacza, że funkcja jest rosnąca na całej prostej $\mathbb{R}$.

Krok 5. Ekstrema. $f'(-1) = 0$ to tylko warunek konieczny. Ekstremum wymaga jeszcze zmiany znaku pochodnej (warunek wystarczający), a tej tu nie ma. W punkcie $(-1, f(-1)) = (-1, -6)$ wykres ma jedynie poziomą styczną - to tak zwany punkt przegięcia, jak dla $y = x^3$ w zerze. Zresztą $f(x) = (x + 1)^3 - 6$.

Odpowiedź. Funkcja jest rosnąca w $\mathbb{R}$ i nie ma ekstremów lokalnych.