Ekstrema funkcji wymiernej - dziedzina w tabeli znaków

Krok 1. Dziedzina. $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Punkt $x = 1$ musi się znaleźć w tabeli, bo tam wykres się „rozrywa”.

Krok 2. Pochodna (rachunek jak w zadaniu o pochodnej tej funkcji):

$f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{(x - 1)^2} = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}.$

Krok 3. Znak pochodnej. Mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc znak $f'$ to znak $(x - 3)(x + 1)$: dodatni dla $x < -1$ i dla $x > 3$, ujemny między $-1$ a $3$ (poza $x = 1$).

Krok 4. Monotoniczność - uwaga na zapis. Funkcja maleje na przedziale $\langle -1;\ 1)$ i osobno na przedziale $(1;\ 3\rangle$. Nie wolno napisać, że maleje na $\langle -1;\ 1) \cup (1;\ 3\rangle$: na przykład $f(0) = -3$, a $f(2) = 7$ - wartość wzrosła, choć argument też.

Krok 5. Ekstrema.

$f(-1) = \frac{1 + 3}{-2} = -2 \ \text{(maksimum)}, \qquad f(3) = \frac{9 + 3}{2} = 6 \ \text{(minimum)}.$

Minimum lokalne jest większe od maksimum lokalnego - dla funkcji z „dziurą” w dziedzinie to nic dziwnego, bo ekstrema są lokalne i leżą na różnych gałęziach wykresu.

Odpowiedź. $f$ rośnie w $(-\infty;\ -1\rangle$ i w $\langle 3;\ +\infty)$, maleje w $\langle -1;\ 1)$ i w $(1;\ 3\rangle$; maksimum lokalne $f(-1) = -2$, minimum lokalne $f(3) = 6$.