Wartość najmniejsza i największa funkcji w przedziale domkniętym

Krok 1. Metoda. Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje wartość najmniejszą i największą - albo w punkcie krytycznym wewnątrz przedziału, albo na jego końcu. Wystarczy porównać wartości w tych punktach.

Krok 2. Pochodna i punkty krytyczne.

$f'(x) = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1).$

Punkty krytyczne: $x = -1$ i $x = 2$. Oba leżą w przedziale $\langle -2;\ 3\rangle$.

Krok 3. Wartości w punktach krytycznych.

$f(-1) = -2 - 3 + 12 + 1 = 8, \qquad f(2) = 16 - 12 - 24 + 1 = -19.$

Krok 4. Wartości na końcach przedziału.

$f(-2) = -16 - 12 + 24 + 1 = -3, \qquad f(3) = 54 - 27 - 36 + 1 = -8.$

Krok 5. Porównanie. Spośród liczb $8,\ -19,\ -3,\ -8$ największa to $8$, najmniejsza $-19$.

Odpowiedź. Wartość największa $f(-1) = 8$, wartość najmniejsza $f(2) = -19$.