Najmniejsza i największa wartość funkcji x + 4/x w przedziale

Krok 1. Dziedzina a przedział. Funkcja nie jest określona w zerze, ale zero nie należy do $\langle 1;\ 4\rangle$, więc na całym przedziale jest ciągła i metoda „punkty krytyczne + końce” działa.

Krok 2. Pochodna.

$f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{x^2 - 4}{x^2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x^2}.$

Krok 3. Punkty krytyczne w przedziale. $f'(x) = 0$ dla $x = 2$ lub $x = -2$; do przedziału należy tylko $x = 2$. Na $\langle 1;\ 2)$ pochodna jest ujemna, na $(2;\ 4\rangle$ dodatnia - w $x = 2$ jest minimum.

Krok 4. Wartości.

$f(1) = 1 + 4 = 5, \qquad f(2) = 2 + 2 = 4, \qquad f(4) = 4 + 1 = 5.$

Krok 5. Wniosek. Najmniejsza wartość to $4$ (w $x = 2$), największa to $5$ - przyjmowana w obu końcach przedziału. To nic niezwykłego: wartość największa jest jedna, ale może być osiągana w kilku punktach.

Odpowiedź. Wartość najmniejsza $f(2) = 4$, wartość największa $f(1) = f(4) = 5$.