Monotoniczność i ekstrema wielomianu trzeciego stopnia
Szkoła średniaśrednie
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji f(x)=x3−3x2−9x+4.
Rozwiązanie
Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie
Krok 1. Dziedzina i pochodna. Wielomian jest określony dla wszystkich x∈R:
f′(x)=3x2−6x−9=3(x2−2x−3)=3(x−3)(x+1).
Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej.f′(x)=0 dla x=−1 oraz x=3.
Krok 3. Znak pochodnej.f′ to parabola skierowana ramionami w górę o miejscach zerowych −1 i 3: jest dodatnia na zewnątrz przedziału (−1;3), ujemna w jego środku.
x
(−∞; −1)
−1
(−1; 3)
3
(3; +∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↗
max
↘
min
↗
Krok 4. Monotoniczność. Funkcja rośnie na przedziałach (−∞;−1⟩ oraz ⟨3;+∞), a maleje na przedziale ⟨−1;3⟩.
Krok 5. Ekstrema. W x=−1 pochodna zmienia znak z plusa na minus - maksimum lokalne; w x=3 z minusa na plus - minimum lokalne:
f(−1)=−1−3+9+4=9,f(3)=27−27−27+4=−23.
Odpowiedź.f rośnie w (−∞;−1⟩ i w ⟨3;+∞), maleje w ⟨−1;3⟩; maksimum lokalne f(−1)=9, minimum lokalne f(3)=−23.
