Ekstrema wielomianu czwartego stopnia - trzy punkty krytyczne

Krok 1. Pochodna.

$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2).$

Krok 2. Punkty krytyczne. $f'(x) = 0$ dla $x = -2$, $x = 0$ oraz $x = 2$.

Krok 3. Znak pochodnej. Wielomian $4x(x - 2)(x + 2)$ ma dodatni współczynnik przy $x^3$ i trzy pierwiastki jednokrotne, więc zaczynając od prawej strony: $+$, potem zmiana znaku przy każdym pierwiastku.

Krok 4. Wartości ekstremów.

$f(-2) = 16 - 32 + 3 = -13, \qquad f(0) = 3, \qquad f(2) = -13.$

Równe wartości w $-2$ i $2$ nie są przypadkiem: funkcja jest parzysta ($f(-x) = f(x)$), więc jej wykres jest symetryczny względem osi $Oy$.

Odpowiedź. $f$ maleje w $(-\infty;\ -2\rangle$ i w $\langle 0;\ 2\rangle$, rośnie w $\langle -2;\ 0\rangle$ i w $\langle 2;\ +\infty)$; minima lokalne $f(-2) = f(2) = -13$, maksimum lokalne $f(0) = 3$.