Pochodna funkcji wymiernej i jej miejsca zerowe

Krok 1. Wzór na pochodną ilorazu. $u = x^2 + 3$, $u' = 2x$; $v = x - 1$, $v' = 1$:

$f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 3)}{(x - 1)^2}.$

Krok 2. Upraszczamy licznik.

$2x^2 - 2x - x^2 - 3 = x^2 - 2x - 3.$

Trójmian ma pierwiastki $3$ i $-1$ (suma $2$, iloczyn $-3$), więc

$f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}.$

Krok 3. Wartość w punkcie $x = 2$.

$f'(2) = \frac{(2 - 3)(2 + 1)}{(2 - 1)^2} = \frac{-3}{1} = -3.$

Krok 4. Miejsca zerowe pochodnej. Ułamek jest zerem, gdy zeruje się licznik, a mianownik nie. Licznik zeruje się dla $x = 3$ i $x = -1$, obie liczby należą do dziedziny ($\ne 1$).

Krok 5. Po co postać iloczynowa? Mianownik $(x - 1)^2$ jest zawsze dodatni, więc znak pochodnej zależy tylko od $(x - 3)(x + 1)$ - to gotowy materiał do badania monotoniczności (zob. zadanie o ekstremach tej funkcji).

Odpowiedź. a) $f'(x) = \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^2}$; b) $f'(2) = -3$; c) $x = -1$ oraz $x = 3$.