Pochodna wielomianu i jej wartość w punkcie

Krok 1. Potrzebne wzory. Pochodna sumy to suma pochodnych, stałą przed funkcją przepisujemy, a dla potęgi i stałej:

$$\left(x^n\right)' = n x^{n - 1}, \qquad (c)' = 0.$$

Krok 2. Różniczkujemy wyraz po wyrazie.

$$\left(2x^4\right)' = 2 \cdot 4x^3 = 8x^3, \qquad \left(-3x^3\right)' = -3 \cdot 3x^2 = -9x^2,$$

$$(5x)' = 5, \qquad (-7)' = 0.$$

Krok 3. Składamy wynik.

$$f'(x) = 8x^3 - 9x^2 + 5.$$

Krok 4. Wartość w punkcie. Podstawiamy $x = 1$ do pochodnej (nie do funkcji):

$$f'(1) = 8 - 9 + 5 = 4.$$

Oznacza to, że styczna do wykresu $f$ w punkcie o odciętej $1$ ma współczynnik kierunkowy $4$.

Odpowiedź. $f'(x) = 8x^3 - 9x^2 + 5$, $f'(1) = 4$.