Główna › Zadania › Granica i pochodna funkcji › Obliczanie pochodnych › Pochodna ilorazu - funkcja homograficzna Pochodna ilorazu - funkcja homograficzna Szkoła średnia średnie
Oblicz pochodną funkcji f ( x ) = 2 x − 1 x + 3 f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3} f ( x ) = x + 3 2 x − 1 x ≠ − 3 x \ne -3 x = − 3 f ′ ( − 1 ) f'(-1) f ′ ( − 1 )
Rozwiązanie Pokaż rozwiązanie krok po kroku Ukryj rozwiązanie Krok 1. Wzór na pochodną ilorazu.
( u v ) ′ = u ′ ⋅ v − u ⋅ v ′ v 2 . \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}. ( v u ) ′ = v 2 u ′ ⋅ v − u ⋅ v ′ .
Kolejność w liczniku ma znaczenie: najpierw pochodna licznika razy mianownik, potem odejmujemy.
Krok 2. Oznaczenia. u = 2 x − 1 u = 2x - 1 u = 2 x − 1 u ′ = 2 u' = 2 u ′ = 2 v = x + 3 v = x + 3 v = x + 3 v ′ = 1 v' = 1 v ′ = 1
Krok 3. Podstawiamy i upraszczamy licznik.
f ′ ( x ) = 2 ( x + 3 ) − ( 2 x − 1 ) ⋅ 1 ( x + 3 ) 2 = 2 x + 6 − 2 x + 1 ( x + 3 ) 2 = 7 ( x + 3 ) 2 . f'(x) = \frac{2(x + 3) - (2x - 1) \cdot 1}{(x + 3)^2} = \frac{2x + 6 - 2x + 1}{(x + 3)^2} = \frac{7}{(x + 3)^2}. f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 2 ( x + 3 ) − ( 2 x − 1 ) ⋅ 1 = ( x + 3 ) 2 2 x + 6 − 2 x + 1 = ( x + 3 ) 2 7 .
Krok 4. Wniosek o monotoniczności. Licznik jest stały i dodatni, mianownik dodatni, więc f ′ ( x ) > 0 f'(x) > 0 f ′ ( x ) > 0 ( − ∞ ; − 3 ) (-\infty;\ -3) ( − ∞ ; − 3 ) ( − 3 ; + ∞ ) (-3;\ +\infty) ( − 3 ; + ∞ )
Krok 5. Wartość w punkcie.
f ′ ( − 1 ) = 7 ( − 1 + 3 ) 2 = 7 4 . f'(-1) = \frac{7}{(-1 + 3)^2} = \frac{7}{4}. f ′ ( − 1 ) = ( − 1 + 3 ) 2 7 = 4 7 .
Odpowiedź. f ′ ( x ) = 7 ( x + 3 ) 2 f'(x) = \frac{7}{(x + 3)^2} f ′ ( x ) = ( x + 3 ) 2 7 f ′ ( − 1 ) = 7 4 f'(-1) = \frac{7}{4} f ′ ( − 1 ) = 4 7
Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →
Podobne zadania 