Pochodna iloczynu funkcji - wzór (fg)' = f'g + fg'

Krok 1. Wzór na pochodną iloczynu.

$(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'.$

Tu $u = x^2 + 1$, więc $u' = 2x$, oraz $v = 3x - 2$, więc $v' = 3$.

Krok 2. Podstawiamy do wzoru.

$f'(x) = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1) \cdot 3 = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3.$

Krok 3. Sprawdzenie innym sposobem. Wymnażamy nawiasy i różniczkujemy wielomian:

$f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2 \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 9x^2 - 4x + 3.$

Wyniki są zgodne. Uwaga: pochodna iloczynu nie jest iloczynem pochodnych - $2x \cdot 3 = 6x$ to zupełnie inna funkcja.

Krok 4. Wartość w punkcie.

$f'(-1) = 9 \cdot 1 - 4 \cdot (-1) + 3 = 9 + 4 + 3 = 16.$

Odpowiedź. $f'(x) = 9x^2 - 4x + 3$, $f'(-1) = 16$.