Pochodna pierwiastka i funkcji 1/x - zapis potęgowy

Krok 1. Zapisujemy wszystko jako potęgi. Wzór $\left(x^n\right)' = n x^{n - 1}$ działa dla każdego wykładnika rzeczywistego, więc zamieniamy pierwiastek i ułamek na potęgi:

$f(x) = 6x^{\frac{1}{2}} + 3x^{-1}.$

Krok 2. Różniczkujemy.

$\left(6x^{\frac{1}{2}}\right)' = 6 \cdot \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{\sqrt{x}}, \qquad \left(3x^{-1}\right)' = 3 \cdot (-1) x^{-2} = -\frac{3}{x^2}.$

Krok 3. Wynik.

$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2}.$

Krok 4. Wartość w punkcie $x = 4$.

$f'(4) = \frac{3}{2} - \frac{3}{16} = \frac{24}{16} - \frac{3}{16} = \frac{21}{16}.$

Krok 5. Częsty błąd. Pochodna $\frac{3}{x}$ to nie $\frac{0}{1}$ ani $\frac{3}{1}$ - nie różniczkujemy osobno licznika i mianownika. Zapis $3x^{-1}$ chroni przed tą pułapką.

Odpowiedź. $f'(x) = \frac{3}{\sqrt{x}} - \frac{3}{x^2}$, $f'(4) = \frac{21}{16}$.