Pochodna z definicji - granica ilorazu różnicowego

Krok 1. Definicja. Pochodna w punkcie $x_0$ to granica ilorazu różnicowego:

$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}.$

Krok 2. Wartości funkcji. $f(2) = 4 - 6 = -2$ oraz

$f(2 + h) = (2 + h)^2 - 3(2 + h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h = h^2 + h - 2.$

Krok 3. Iloraz różnicowy. Dla $h \ne 0$:

$\frac{f(2 + h) - f(2)}{h} = \frac{h^2 + h - 2 - (-2)}{h} = \frac{h^2 + h}{h} = h + 1.$

Krok 4. Granica.

$f'(2) = \lim_{h \to 0} (h + 1) = 1.$

Krok 5. Sprawdzenie wzorami. $f'(x) = 2x - 3$, więc $f'(2) = 4 - 3 = 1$ - zgadza się. Interpretacja: iloraz $h + 1$ to nachylenie siecznej przez punkty o odciętych $2$ i $2 + h$; gdy $h \to 0$, sieczna przechodzi w styczną o nachyleniu $1$.

Odpowiedź. $f'(2) = 1$.