Oblicz bez tablic: 2 sin 15° cos 15°, cos² 22,5° − sin² 22,5° i 2 cos²(π/12) − 1

Każde wyrażenie to prawa strona wzoru na funkcję podwojonego kąta - po „zwinięciu” dostajemy kąt z tabeli.

Krok 1. a) $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$, więc $2\sin 15^\circ\cos 15^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$.

Krok 2. b) $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$, więc wynik to $\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Krok 3. c) $2\cos^2\alpha - 1 = \cos 2\alpha$, więc $2\cos^2\frac{\pi}{12} - 1 = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Krok 4. d) $1 - 2\sin^2\alpha = \cos 2\alpha$, więc $1 - 2\sin^2\frac{\pi}{8} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Krok 5. e) $\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \operatorname{tg} 2\alpha$, więc wynik to $\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

W b) i d) łatwo pomylić znak: $\sin^2\alpha - \cos^2\alpha$ to $-\cos 2\alpha$, a $2\sin^2\alpha - 1$ to również $-\cos 2\alpha$. Zawsze porównaj wyrażenie z dokładną postacią wzoru.

Odpowiedź. a) $\frac{1}{2}$; b) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; c) $\frac{\sqrt{3}}{2}$; d) $\frac{\sqrt{2}}{2}$; e) $\frac{\sqrt{3}}{3}$.