Wzory na potrójny kąt: cos 3α i sin 3α, gdy cos α = −1/3 i α w II ćwiartce

Krok 1. a) Wyprowadzenie. Zapisujemy $3\alpha = 2\alpha + \alpha$ i używamy cosinusa sumy:

$\cos 3\alpha = \cos 2\alpha\cos\alpha - \sin 2\alpha\sin\alpha = (2\cos^2\alpha - 1)\cos\alpha - 2\sin^2\alpha\cos\alpha.$

Zamieniamy $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$\cos 3\alpha = 2\cos^3\alpha - \cos\alpha - 2\cos\alpha + 2\cos^3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha.$

Krok 2. b) Cosinus potrójnego kąta. Wzór zawiera tylko cosinus, więc podstawiamy od razu:

$\cos 3\alpha = 4 \cdot \left(-\frac{1}{27}\right) - 3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{4}{27} + 1 = \frac{23}{27}.$

Krok 3. c) Sinus kąta α. W II ćwiartce sinus jest dodatni: $\sin\alpha = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Krok 4. Sinus potrójnego kąta. Najpierw $\sin^3\alpha = \frac{8 \cdot 2\sqrt{2}}{27} = \frac{16\sqrt{2}}{27}$, więc

$\sin 3\alpha = 3 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} - 4 \cdot \frac{16\sqrt{2}}{27} = 2\sqrt{2} - \frac{64\sqrt{2}}{27} = \frac{54\sqrt{2} - 64\sqrt{2}}{27} = -\frac{10\sqrt{2}}{27}.$

Krok 5. Sprawdzenie. $\sin^2 3\alpha + \cos^2 3\alpha = \frac{200}{729} + \frac{529}{729} = \frac{729}{729} = 1$.

Znak sinusa jest wiarygodny: $\alpha \approx 109{,}47^\circ$, więc $3\alpha \approx 328{,}4^\circ$ - kąt z IV ćwiartki, gdzie sinus jest ujemny, a cosinus dodatni.

Odpowiedź. b) $\cos 3\alpha = \frac{23}{27}$; c) $\sin 3\alpha = -\frac{10\sqrt{2}}{27}$.