Oblicz sin 15° i cos 15° ze wzoru na kąt połówkowy i porównaj z wzorem na różnicę

Krok 1. a) Kwadrat sinusa. Dla $\alpha = 15^\circ$ mamy $2\alpha = 30^\circ$, $\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

$\sin^2 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}.$

Krok 2. Znak. Kąt $15^\circ$ jest ostry, więc sinus i cosinus są dodatnie - bierzemy pierwiastek z plusem:

$\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, \qquad \cos 15^\circ = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}.$

Krok 3. b) Porównanie przez kwadraty. Obie liczby są dodatnie, więc są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich kwadraty. Kwadrat prawej strony:

$\left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)^2 = \frac{6 - 2\sqrt{12} + 2}{16} = \frac{8 - 4\sqrt{3}}{16} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}.$

To dokładnie $\sin^2 15^\circ$ z kroku 1, a $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} > 0$, bo $\sqrt{6} > \sqrt{2}$.

Krok 4. Wniosek ogólny. Pokazaliśmy przy okazji, że $\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ - „pierwiastek podwójny” da się uprościć. Analogicznie $\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$, więc $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \approx 0{,}9659$.

Uwaga: przy kwadratach nie wolno pominąć sprawdzenia znaku - liczby $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ i $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$ mają ten sam kwadrat, ale tylko pierwsza jest sinusem $15^\circ$.

Odpowiedź. a) $\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$, $\cos 15^\circ = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{3}}}{2}$; b) obie strony są dodatnie i mają ten sam kwadrat $\frac{2 - \sqrt{3}}{4}$, więc są równe.