Udowodnij tożsamość sin 2x / (1 + cos 2x) = tg x i podaj dziedzinę

Krok 1. a) Dziedzina. Lewa strona wymaga $1 + \cos 2x \neq 0$, czyli $\cos 2x \neq -1$. Cosinus równy $-1$ jest dla $2x = \pi + 2k\pi$, więc wykluczamy $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Prawa strona wymaga $\cos x \neq 0$ - to te same liczby $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Obie strony mają sens dla $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$.

Krok 2. b) Wybór postaci cos 2x. W mianowniku stoi $1 + \cos 2x$, więc wybieramy postać $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ - jedynki się zredukują:

$1 + \cos 2x = 1 + 2\cos^2 x - 1 = 2\cos^2 x.$

Krok 3. Przekształcenie lewej strony.

$L = \frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \operatorname{tg} x = P.$

Skracanie przez $\cos x$ jest poprawne, bo w dziedzinie $\cos x \neq 0$.

Krok 4. c) Zastosowanie. Podstawiamy $x = \frac{\pi}{8}$ (należy do dziedziny), więc $2x = \frac{\pi}{4}$:

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{1 + \cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1.$

Gdyby w kroku 2 wybrać postać $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, dowód też by wyszedł, ale trzeba by dodatkowo zamienić $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ - dłuższa droga.

Odpowiedź. a) $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; b) $L = \frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x} = \operatorname{tg} x$; c) $\operatorname{tg}\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$.