Zbiór wartości i okres funkcji f(x) = sin⁴x + cos⁴x

Krok 1. Uzupełnienie do kwadratu. Korzystamy z $p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq$ dla $p = \sin^2 x$, $q = \cos^2 x$ i z jedynki:

$f(x) = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x\cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x.$

Krok 2. Podwojony kąt. Ponieważ $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, mamy $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x$, więc

$f(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2x.$

Krok 3. a) Obniżenie potęgi. $\sin^2 2x = \frac{1 - \cos 4x}{2}$:

$f(x) = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - \cos 4x}{2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x.$

Krok 4. b) Zbiór wartości. $\cos 4x$ przyjmuje wszystkie wartości z $\langle -1;\ 1\rangle$, więc

$\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \le f(x) \le \frac{3}{4} + \frac{1}{4}, \qquad \text{czyli} \qquad f(x) \in \left\langle \frac{1}{2};\ 1 \right\rangle.$

Krok 5. c) Okres i minimum. Okres funkcji $\cos 4x$ to $\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ - i taki jest okres $f$. Wartość najmniejsza $\frac{1}{2}$ jest, gdy $\cos 4x = -1$:

$4x = \pi + 2k\pi \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Pułapka: z samego $0 \le \sin^4 x \le 1$ i $0 \le \cos^4 x \le 1$ wynikałoby tylko $0 \le f(x) \le 2$ - oszacowanie prawdziwe, ale nie jest zbiorem wartości. Wartości $0$ i $2$ nie są osiągane, bo sinus i cosinus nie mogą być jednocześnie równe zeru ani jednocześnie równe $\pm 1$.

Odpowiedź. a) $f(x) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$; b) $\left\langle \frac{1}{2};\ 1 \right\rangle$; c) okres $\frac{\pi}{2}$, wartość najmniejsza dla $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.