Oblicz sin 2α, cos 2α i tg 2α, gdy sin α = −12/13 i α w III ćwiartce

Krok 1. Cosinus kąta α. Z jedynki: $\cos^2\alpha = 1 - \frac{144}{169} = \frac{25}{169}$. W III ćwiartce cosinus jest ujemny, więc $\cos\alpha = -\frac{5}{13}$.

Krok 2. Sinus podwojonego kąta.

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) = \frac{120}{169}.$

Krok 3. Cosinus podwojonego kąta. Znamy sinus, więc bierzemy postać z sinusem:

$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2 \cdot \frac{144}{169} = \frac{169 - 288}{169} = -\frac{119}{169}.$

Krok 4. Tangens.

$\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{120}{169} \cdot \left(-\frac{169}{119}\right) = -\frac{120}{119}.$

Krok 5. Sprawdzenie. $120^2 + 119^2 = 14\,400 + 14\,161 = 28\,561 = 169^2$, więc $\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha = 1$. Drugi sposób na tangens: $\operatorname{tg}\alpha = \frac{12}{5}$ i $\frac{2 \cdot \frac{12}{5}}{1 - \frac{144}{25}} = \frac{\frac{24}{5}}{-\frac{119}{25}} = -\frac{120}{119}$.

Zwróć uwagę, że $\sin 2\alpha$ wyszedł dodatni, choć $\sin\alpha < 0$: kąt $2\alpha$ leży w przedziale $(2\pi;\ 3\pi)$, czyli tam, gdzie sinus jest dodatni.

Odpowiedź. $\sin 2\alpha = \frac{120}{169}$, $\cos 2\alpha = -\frac{119}{169}$, $\operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{120}{119}$.