sin 2α, cos 2α i tg 2α, gdy tg α = 3 - wzory przez tangens

Krok 1. Wzory przez tangens. Zapisujemy $1 = \sin^2\alpha + \cos^2\alpha$ w mianowniku i dzielimy licznik oraz mianownik przez $\cos^2\alpha$ (to wolno, bo skoro tangens istnieje, $\cos\alpha \neq 0$):

$\sin 2\alpha = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin^2\alpha + \cos^2\alpha} = \frac{2\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}^2\alpha + 1}, \qquad \cos 2\alpha = \frac{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha}{\cos^2\alpha + \sin^2\alpha} = \frac{1 - \operatorname{tg}^2\alpha}{1 + \operatorname{tg}^2\alpha}.$

Krok 2. Podstawienie tg α = 3.

$\sin 2\alpha = \frac{2 \cdot 3}{1 + 9} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad \cos 2\alpha = \frac{1 - 9}{1 + 9} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}.$

Krok 3. Tangens. $\operatorname{tg} 2\alpha = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$. Ten sam wynik daje wzór $\frac{2\operatorname{tg}\alpha}{1 - \operatorname{tg}^2\alpha} = \frac{6}{1 - 9} = -\frac{3}{4}$.

Krok 4. Dlaczego ćwiartka nie ma znaczenia. Tangens równy $3$ mają dwa rodzaje kątów: z I ćwiartki (sinus i cosinus dodatnie) i z III ćwiartki (oba ujemne). Takie kąty różnią się o $\pi$, więc ich podwojenia różnią się o $2\pi$ - czyli mają identyczne wartości wszystkich funkcji. Iloczyn $\sin\alpha\cos\alpha$ ma ten sam znak w obu przypadkach.

Dla porównania: sposób „okrężny” wymaga wyznaczenia $\sin\alpha = \pm\frac{3}{\sqrt{10}}$ i $\cos\alpha = \pm\frac{1}{\sqrt{10}}$ (znaki zgodne), a potem $\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$ - wynik ten sam, ale dłuższa droga.

Odpowiedź. $\sin 2\alpha = \frac{3}{5}$, $\cos 2\alpha = -\frac{4}{5}$, $\operatorname{tg} 2\alpha = -\frac{3}{4}$.