Wzory skróconego mnożenia: (a±b)², a²−b², (a±b)³, 4. potęga, aⁿ−bⁿ

Wzory skróconego mnożenia to tożsamości algebraiczne pozwalające szybko przekształcać i upraszczać wyrażenia - bez mnożenia „nawias przez nawias”. Obowiązują wszędzie tam, gdzie dodawanie i mnożenie są przemienne, łączne i rozdzielne, a więc dla liczb i wielomianów.

Działają w obie strony: z lewej na prawą rozwijają nawias, z prawej na lewą rozkładają na czynniki. Ten drugi kierunek jest w zadaniach ważniejszy - to on pozwala skracać ułamki algebraiczne i rozwiązywać równania wyższych stopni.

Kwadrat sumy i różnicy

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Wyprowadzenie to zwykłe wymnożenie nawiasów z wykorzystaniem rozdzielności mnożenia względem dodawania:

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2.$

Drugi wzór wynika z pierwszego przez podstawienie $-b$ w miejsce $b$ - dlatego zmienia się tylko znak przy środkowym wyrazie.

Interpretacja geometryczna. Kwadrat o boku $a + b$ dzieli się na cztery części: kwadrat $a \times a$, kwadrat $b \times b$ i dwa prostokąty $a \times b$. Ich pola to dokładnie $a^2 + 2ab + b^2$.

Różnica kwadratów

$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Najczęściej używany wzór w całym zestawie - bo zamienia różnicę na iloczyn, a iloczyn da się skracać i przyrównywać do zera.

Uwaga: suma kwadratów $a^2 + b^2$ nie rozkłada się na czynniki w liczbach rzeczywistych. To jeden z najczęstszych błędów.

Sześcian sumy i różnicy

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Współczynniki $1, 3, 3, 1$ to trzeci wiersz trójkąta Pascala. Przy różnicy znaki występują na przemian: $+, -, +, -$.

Suma i różnica sześcianów

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Reguła pamięciowa: w pierwszym nawiasie znak taki sam jak po lewej stronie, w drugim nawiasie przy środkowym wyrazie znak przeciwny. Drugi czynnik bywa nazywany niepełnym kwadratem - różni się od $(a \mp b)^2$ tylko współczynnikiem przy $ab$.

W odróżnieniu od sumy kwadratów, suma sześcianów rozkłada się na czynniki.

Czwarte potęgi

$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$

$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$

Współczynniki $1, 4, 6, 4, 1$ to czwarty wiersz trójkąta Pascala.

Różnica czwartych potęg rozkłada się dwuetapowo - najpierw jako różnica kwadratów:

$a^4 - b^4 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = (a-b)(a+b)(a^2+b^2).$

Suma czwartych potęg nie rozkłada się na czynniki o współczynnikach wymiernych. Rozkłada się za to jej krewna - tożsamość Sophie Germain:

$a^4 + 4b^4 = (a^2 + 2b^2 - 2ab)(a^2 + 2b^2 + 2ab).$

Wzory ogólne: aⁿ − bⁿ oraz aⁿ + bⁿ

Dla dowolnej liczby naturalnej $n$:

$a^n - b^n = (a-b)\left(a^{n-1} + a^{n-2}b + \ldots + ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$

Dla nieparzystego $n$:

$a^n + b^n = (a+b)\left(a^{n-1} - a^{n-2}b + \ldots - ab^{n-2} + b^{n-1}\right)$

Drugi nawias ma zawsze dokładnie $n$ wyrazów. Ważny wniosek: $a - b$ jest dzielnikiem $a^n - b^n$ dla każdego $n$, a $a + b$ jest dzielnikiem $a^n + b^n$ tylko dla $n$ nieparzystych. Dla $n$ parzystego suma $a^n + b^n$ się nie rozkłada - zgodnie z tym, co widzieliśmy przy kwadratach i czwartych potęgach.

Wzory na kwadrat i sześcian sumy oraz różnicy są szczególnymi przypadkami wzoru dwumianowego Newtona:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}.$

Przykłady

Rozwijanie nawiasu.

• $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$
• $(2x-1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1 = 4x^2 - 4x + 1$
• $(x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$

Rozkład na czynniki.

• $x^2 - 25 = (x-5)(x+5)$
• $9x^2 - 16y^2 = (3x - 4y)(3x + 4y)$
• $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$
• $x^4 - 81 = (x^2 - 9)(x^2 + 9) = (x-3)(x+3)(x^2+9)$

Rachunki w pamięci.

• $98 \cdot 102 = (100-2)(100+2) = 10000 - 4 = 9996$
• $41^2 = (40+1)^2 = 1600 + 80 + 1 = 1681$
• $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x + 3$ dla $x \neq 3$

Najczęstsze błędy

• $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$. Brakuje wyrazu $2ab$. To zdecydowanie najczęstsza pomyłka - wystarczy sprawdzić na liczbach: $(2+3)^2 = 25$, a $2^2 + 3^2 = 13$.
• $a^2 + b^2$ się nie rozkłada (w liczbach rzeczywistych). Rozkłada się tylko różnica kwadratów.
• $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$. Pierwiastek nie „wchodzi” do sumy.
• Znak w rozkładzie sześcianów. W $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ środkowy wyraz ma znak plus, choć po lewej stronie jest minus.
• Zapominanie o nawiasie przy całym składniku. W $(2x-1)^2$ podnosimy do kwadratu $2x$, a nie samo $x$ - stąd $4x^2$, nie $2x^2$.

Przećwicz

Zestaw zadania ze wzorów skróconego mnożenia zawiera zadania z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku - rozwijanie nawiasów, rozkład na czynniki, obliczanie wartości wyrażeń i skracanie ułamków algebraicznych.

Teoria w kursie: wzory skróconego mnożenia.

Najczęstsze pytania

Ile jest wzorów skróconego mnożenia? W szkolnym kanonie siedem: kwadrat sumy, kwadrat różnicy, różnica kwadratów, sześcian sumy, sześcian różnicy, suma sześcianów i różnica sześcianów. Do tego dochodzą wzory na czwarte potęgi i wzory ogólne $a^n \pm b^n$.

Czy istnieje wzór na sumę kwadratów? Nie w liczbach rzeczywistych - $a^2 + b^2$ jest nierozkładalne. Rozkłada się dopiero w liczbach zespolonych: $a^2 + b^2 = (a - bi)(a + bi)$.

Jak brzmi wzór skróconego mnożenia do potęgi 4?$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$, a przy różnicy znaki występują na przemian. Różnica czwartych potęg rozkłada się jako $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)$.

Skąd biorą się współczynniki 1, 3, 3, 1? To wiersze trójkąta Pascala, czyli symbole Newtona $\binom{n}{k}$ ze wzoru dwumianowego.

Po co rozkładać wyrażenie na czynniki? Żeby skracać ułamki algebraiczne i rozwiązywać równania: iloczyn jest zerem dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników.

Czy wzory działają dla wielomianów i pierwiastków? Tak - pod $a$ i $b$ można podstawić dowolne wyrażenia, np. $(\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1$. Na tym opiera się usuwanie niewymierności z mianownika.

Podsumowanie

• Wzory działają w obie strony: rozwijają nawias i rozkładają wyrażenie na czynniki.
• $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ - o wyrazie $2ab$ zapomina się najczęściej.
• $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$; suma kwadratów się nie rozkłada.
• $a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$ - w nawiasie znak przeciwny niż po lewej stronie.
• Współczynniki w rozwinięciach $(a+b)^n$ to wiersze trójkąta Pascala (wzór Newtona).
• $a - b$ dzieli $a^n - b^n$ dla każdego $n$; $a + b$ dzieli $a^n + b^n$ tylko dla $n$ nieparzystych.