Wzory na koło i okrąg - pole, obwód, łuk, wycinek

Długość okręgu o promieniu $r$ wynosi $2\pi r$, a pole koła $\pi r^2$, gdzie $\pi \approx 3{,}14159$. Łuk i wycinek to odpowiednie części okręgu i koła: jeśli kąt środkowy ma $\alpha$ stopni, łuk stanowi $\frac{\alpha}{360^\circ}$ całego okręgu, a wycinek - taką samą część koła. Okrąg to sama krzywa (punkty odległe od środka o $r$), koło - okrąg razem z wnętrzem.

Długość okręgu i pole koła

• $L = 2\pi r = \pi d$, gdzie $d = 2r$ to średnica - liczba $\pi$ jest stosunkiem obwodu do średnicy.
• $P = \pi r^2$.

Przykład. Koło o promieniu $5$: $L = 10\pi \approx 31{,}42$, $P = 25\pi \approx 78{,}54$.

Zadanie odwrotne. Okrąg ma długość $12\pi$, więc $2\pi r = 12\pi$, $r = 6$, a pole koła to $36\pi$.

Łuk i wycinek koła

Dla kąta środkowego $\alpha$ (w stopniach):

$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r, \qquad P_w = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{2} \, l \, r.$

Przykład. $r = 5$, $\alpha = 72^\circ$ (piąta część pełnego kąta): łuk $\frac{72}{360} \cdot 10\pi = 2\pi$, wycinek $\frac{72}{360} \cdot 25\pi = 5\pi$.

W radianach wzory są prostsze: $l = \alpha r$ i $P_w = \frac{1}{2}\alpha r^2$. Dla $\alpha = \frac{\pi}{3}$ i $r = 6$: $l = 2\pi$.

Odcinek koła i pierścień

Odcinek koła to część koła odcięta cięciwą - wycinek minus trójkąt utworzony przez dwa promienie i cięciwę:

$P = \frac{1}{2}r^2\alpha - \frac{1}{2}r^2\sin\alpha = \frac{1}{2}r^2(\alpha - \sin\alpha) \quad (\alpha \text{ w radianach}).$

Przykład. $r = 6$, $\alpha = 90^\circ = \frac{\pi}{2}$: $P = \frac{1}{2} \cdot 36 \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = 9\pi - 18 \approx 10{,}27$.

Pierścień kołowy między okręgami o wspólnym środku i promieniach $R > r$ ma pole $P = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$. Dla $R = 5$ i $r = 3$: $16\pi$.

Najczęstsze pytania

Jaki jest wzór na obwód koła?$L = 2\pi r$ (albo $\pi d$). Ściśle mówiąc, to długość okręgu - brzegu koła.

Jaki jest wzór na pole koła?$P = \pi r^2$. Dla promienia $10$ pole wynosi $100\pi \approx 314{,}16$.

Czym różni się koło od okręgu? Okrąg to krzywa - punkty odległe od środka dokładnie o $r$. Koło to okrąg razem z punktami w jego wnętrzu. Okrąg ma długość, koło - pole.

Jak obliczyć długość łuku?$l = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot 2\pi r$ dla kąta w stopniach albo $l = \alpha r$ dla kąta w radianach.

Jak obliczyć pole wycinka koła?$P = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ - taka część pola koła, jaką kąt środkowy stanowi w kącie pełnym.

Podsumowanie

• Okrąg: $L = 2\pi r$; koło: $P = \pi r^2$.
• Łuk i wycinek: część $\frac{\alpha}{360^\circ}$ okręgu i koła; w radianach $l = \alpha r$, $P_w = \frac{1}{2}\alpha r^2$.
• Odcinek koła: $\frac{1}{2}r^2(\alpha - \sin\alpha)$; pierścień: $\pi(R^2 - r^2)$.
• Kąty w okręgu i ćwiczenia: kąt wpisany i kąt środkowy, zadania: łuki i wycinki; równanie okręgu: geometria analityczna.