Czworokąt opisany na okręgu - odcinki styczne

Szkoła średnia średnie

Czworokąt $ABCD$ jest opisany na okręgu. Wiadomo, że $|AB| = 7$ , $|BC| = 9$ i $|CD| = 12$ . Oblicz długość boku $AD$ oraz obwód czworokąta.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Odcinki styczne. Okrąg jest styczny do każdego boku. Z każdego wierzchołka wychodzą dwa odcinki styczne, a odcinki styczne z jednego punktu są równe. Oznaczmy je $a$ , $b$ , $c$ , $d$ (z wierzchołków $A$ , $B$ , $C$ , $D$ ). Wtedy

$|AB| = a + b, \quad |BC| = b + c, \quad |CD| = c + d, \quad |DA| = d + a.$

Krok 2. Sumy przeciwległych boków.

$|AB| + |CD| = a + b + c + d = |BC| + |DA|.$

W czworokącie opisanym na okręgu sumy przeciwległych boków są równe.

Krok 3. Brakujący bok.

$7 + 12 = 9 + |AD| \quad\Longrightarrow\quad |AD| = 10.$

Krok 4. Obwód. $L = 7 + 9 + 12 + 10 = 38$ - albo krócej: $L = 2 \cdot (7 + 12) = 38$ .

Odpowiedź. $|AD| = 10$ , obwód wynosi $38$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →