Sprawdzenie twierdzenia dla siecznej przez środek

Szkoła średnia średnie

Okrąg ma promień $2$ , a punkt $P$ leży w odległości $5$ od jego środka. Oblicz długość stycznej z punktu $P$ oraz sprawdź twierdzenie o stycznej i siecznej dla siecznej przechodzącej przez środek okręgu.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Długość stycznej (twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym $OAP$ ):

$|PA|^2 = 5^2 - 2^2 = 21 \quad\Longrightarrow\quad |PA| = \sqrt{21}.$

Krok 2. Sieczna przez środek. Przecina ona okrąg w punktach odległych od $P$ o

$|PB| = 5 - 2 = 3 \qquad \text{oraz} \qquad |PC| = 5 + 2 = 7.$

Krok 3. Sprawdzenie twierdzenia.

$|PB| \cdot |PC| = 3 \cdot 7 = 21 = |PA|^2. \qquad \checkmark$

Odpowiedź. $|PA| = \sqrt{21}$ ; twierdzenie się potwierdza, bo $3 \cdot 7 = 21$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →