Promień okręgu z twierdzenia o stycznej i siecznej

Szkoła średnia średnie

Z punktu $P$ poprowadzono do okręgu styczną o długości $12$ oraz sieczną przechodzącą przez środek okręgu. Zewnętrzna część siecznej ma długość $8$ . Oblicz promień okręgu.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Twierdzenie o stycznej i siecznej. Oznaczmy punkty przecięcia siecznej z okręgiem przez $B$ (bliższy) i $C$ (dalszy):

$|PA|^2 = |PB| \cdot |PC| \quad\Longrightarrow\quad 144 = 8 \cdot |PC| \quad\Longrightarrow\quad |PC| = 18.$

Krok 2. Średnica. Sieczna przechodzi przez środek, więc cięciwa $BC$ jest średnicą:

$|BC| = |PC| - |PB| = 18 - 8 = 10, \qquad r = 5.$

Krok 3. Sprawdzenie. Odległość punktu od środka to $|PO| = 8 + 5 = 13$ . W trójkącie prostokątnym $OAP$ (promień jest prostopadły do stycznej):

$|PO|^2 - r^2 = 169 - 25 = 144 = |PA|^2. \qquad \checkmark$

Odpowiedź. Promień okręgu wynosi $5$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →