Przecinające się cięciwy - brakujący odcinek

Szkoła średnia łatwe

Cięciwy $AB$ i $CD$ okręgu przecinają się w punkcie $S$ . Wiadomo, że $|AS| = 4$ , $|SB| = 9$ oraz $|CS| = 6$ . Oblicz $|SD|$ oraz długość cięciwy $CD$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Twierdzenie o przecinających się cięciwach. Iloczyny odcinków, na które punkt przecięcia dzieli każdą cięciwę, są równe:

$|AS| \cdot |SB| = |CS| \cdot |SD|.$

Krok 2. Podstawiamy dane.

$4 \cdot 9 = 6 \cdot |SD| \quad\Longrightarrow\quad 36 = 6 \cdot |SD| \quad\Longrightarrow\quad |SD| = 6.$

Krok 3. Długość cięciwy $CD$ to suma obu odcinków:

$|CD| = |CS| + |SD| = 6 + 6 = 12.$

Punkt $S$ jest więc środkiem cięciwy $CD$ , choć cięciwy $AB$ nie dzieli na połowy.

Odpowiedź. $|SD| = 6$ , $|CD| = 12$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →