Równanie 2sin x = √3 - wszystkie rozwiązania i rozwiązania w ⟨0; 2π⟩

Krok 1. Postać elementarna. Dzielimy obie strony przez $2$: $\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Prawa strona należy do $\langle -1;\ 1\rangle$, więc rozwiązania istnieją.

Krok 2. Jedno rozwiązanie. Z tablicy wartości: $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, więc $x_0 = \frac{\pi}{3}$.

Krok 3. Druga seria. Prosta $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ przecina okrąg jednostkowy w dwóch punktach - dla kąta $x_0$ i dla kąta $\pi - x_0 = \frac{2\pi}{3}$.

Krok 4. a) Rozwiązanie ogólne.

$x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 5. b) Przedział. Dla $k = 0$ dostajemy $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{2\pi}{3}$. Już $k = 1$ daje liczby większe od $2\pi$, a $k = -1$ - ujemne.

Odpowiedź. a) $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ lub $x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; b) $x \in \left\{ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3} \right\}$.

Częsty błąd: zapis samego $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$. Gubi on drugą serię - kąty z II ćwiartki, w której sinus też jest dodatni.