Równanie √3·tg x + 1 = 0 w przedziale ⟨−π; π⟩

Krok 1. Dziedzina. Tangens istnieje dla $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ - takie liczby od razu wykluczamy.

Krok 2. Postać elementarna.

$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}.$

Krok 3. Jedno rozwiązanie. $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, a tangens jest nieparzysty, więc $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.

Krok 4. Rozwiązanie ogólne. Tangens ma okres $\pi$ i w każdym okresie przyjmuje daną wartość raz, więc wystarcza jedna seria:

$x = -\frac{\pi}{6} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 5. Przedział $\langle -\pi;\ \pi\rangle$. $k = 0$: $-\frac{\pi}{6}$; $k = 1$: $\frac{5\pi}{6}$; $k = -1$: $-\frac{7\pi}{6} < -\pi$; $k = 2$: $\frac{11\pi}{6} > \pi$.

Odpowiedź. $x = -\frac{\pi}{6} + k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; w przedziale $\langle -\pi;\ \pi\rangle$: $x \in \left\{ -\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6} \right\}$.

Uwaga: przy tangensie nie dopisujemy drugiej serii $\pi - x_0$. Tu dałaby ona $\frac{7\pi}{6}$, a $\operatorname{tg}\frac{7\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ - wartość z przeciwnym znakiem.