Równanie cos x = −√2/2 - rozwiązanie ogólne i w przedziale ⟨0; 2π⟩

Krok 1. Postać elementarna. $\sqrt{2}\cos x = -1$, więc

$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Krok 2. Jedno rozwiązanie. Wiemy, że $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Wzór redukcyjny $\cos(\pi - x) = -\cos x$ daje kąt o cosinusie ujemnym: $x_0 = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Krok 3. Rozwiązanie ogólne. Cosinus jest parzysty, więc druga seria to $-x_0$:

$x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 4. Przedział $\langle 0;\ 2\pi\rangle$. Z pierwszej serii ($k = 0$): $\frac{3\pi}{4}$. Z drugiej $k = 0$ daje liczbę ujemną, ale $k = 1$: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi = \frac{5\pi}{4}$.

Odpowiedź. $x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2k\pi$, $k \in \mathbb{Z}$; w przedziale $\langle 0;\ 2\pi\rangle$: $x \in \left\{ \frac{3\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4} \right\}$.

Pułapka: odpowiedź $\frac{\pi}{4}$ i $\frac{7\pi}{4}$ to rozwiązania równania $\cos x = +\frac{\sqrt{2}}{2}$ - zgubiony minus. Kąty o ujemnym cosinusie leżą w II i III ćwiartce.