Równanie sin 3x = sin(x + π/4) w przedziale ⟨0; π⟩

Krok 1. Reguła. Dwa kąty mają ten sam sinus wtedy i tylko wtedy, gdy różnią się o wielokrotność $2\pi$ albo dopełniają się do $\pi$ (z dokładnością do $2k\pi$):

$\sin\alpha = \sin\beta \quad\Longleftrightarrow\quad \alpha = \beta + 2k\pi \quad \text{lub} \quad \alpha = \pi - \beta + 2k\pi.$

Krok 2. Pierwsza seria.

$3x = x + \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad 2x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{8} + k\pi.$

Krok 3. Druga seria.

$3x = \pi - x - \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad 4x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}.$

Krok 4. Przedział $\langle 0;\ \pi\rangle$. Pierwsza seria: tylko $k = 0$, czyli $\frac{\pi}{8}$ ($k = 1$ daje $\frac{9\pi}{8} > \pi$). Druga seria: $k = 0$ daje $\frac{3\pi}{16}$, $k = 1$ daje $\frac{3\pi}{16} + \frac{8\pi}{16} = \frac{11\pi}{16}$, $k = 2$ daje $\frac{19\pi}{16} > \pi$.

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $x = \frac{11\pi}{16}$: $3x = \frac{33\pi}{16}$, a $x + \frac{\pi}{4} = \frac{15\pi}{16}$. Suma $\frac{33\pi}{16} + \frac{15\pi}{16} = 3\pi = \pi + 2\pi$, więc kąty rzeczywiście dopełniają się do $\pi$ (z dokładnością do $2\pi$) i mają ten sam sinus.

Odpowiedź. $x = \frac{\pi}{8} + k\pi$ lub $x = \frac{3\pi}{16} + \frac{k\pi}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$; w przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$: $x \in \left\{ \frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{16},\ \frac{11\pi}{16} \right\}$.

Pułapka: z $\sin 3x = \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ nie wolno „skreślić sinusów” i napisać tylko $3x = x + \frac{\pi}{4}$. Daje to jedną serię z dwóch - w przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$ zginęłyby dwa rozwiązania z trzech.