Równanie sin(2x + π/6) = 1/2 w przedziale ⟨0; 2π⟩ - pięć rozwiązań

Krok 1. Równanie względem argumentu. Traktujemy $t = 2x + \frac{\pi}{6}$ jak jedną zmienną. Z $\sin t = \frac{1}{2}$:

$2x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{lub} \quad 2x + \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi.$

Krok 2. Wyznaczamy x. Odejmujemy $\frac{\pi}{6}$ i dzielimy przez $2$ - razem z $2k\pi$:

$2x = 2k\pi \ \Rightarrow\ x = k\pi, \qquad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \ \Rightarrow\ x = \frac{\pi}{3} + k\pi.$

Krok 3. Przedział. Pierwsza seria: $k = 0, 1, 2$ daje $0$, $\pi$, $2\pi$ - wszystkie trzy należą do $\langle 0;\ 2\pi\rangle$, bo przedział jest domknięty. Druga seria: $k = 0, 1$ daje $\frac{\pi}{3}$ i $\frac{4\pi}{3}$ ($k = 2$ to już $\frac{7\pi}{3} > 2\pi$).

Krok 4. Sprawdzenie jednego wyniku. Dla $x = \frac{4\pi}{3}$: $\sin\left(\frac{8\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{17\pi}{6} = \sin\left(\frac{5\pi}{6} + 2\pi\right) = \frac{1}{2}$.

Odpowiedź. $x \in \left\{ 0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{4\pi}{3},\ 2\pi \right\}$.

Pułapka: pozostawienie $2k\pi$ bez dzielenia przez $2$ (czyli $x = 2k\pi$ lub $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$) daje tylko $0$, $2\pi$ i $\frac{\pi}{3}$. Funkcja $\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right)$ ma okres $\pi$, więc rozwiązania powtarzają się co $\pi$, nie co $2\pi$.