Dla jakich m równanie 2sin x − 1 = m ma dwa rozwiązania w ⟨0; π⟩?

Krok 1. Interpretacja. Liczba rozwiązań równania $f(x) = m$ to liczba punktów wspólnych wykresu $y = f(x)$ i poziomej prostej $y = m$. Rysujemy więc $f(x) = 2\sin x - 1$ w przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$.

Krok 2. Wykres. Dla $x \in \langle 0;\ \pi\rangle$ sinus rośnie od $0$ do $1$ (w $\frac{\pi}{2}$), a potem maleje z powrotem do $0$. Zatem $f$ rośnie od $f(0) = -1$ do $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1$ i maleje do $f(\pi) = -1$.

Krok 3. Odczyt liczby rozwiązań.

• $m > 1$ lub $m < -1$: prosta omija wykres - $0$ rozwiązań;
• $m = 1$: prosta dotyka wykresu w szczycie - $1$ rozwiązanie ($x = \frac{\pi}{2}$);
• $-1 < m < 1$: prosta przecina obie „połówki” łuku - $2$ rozwiązania;
• $m = -1$: prosta przechodzi przez oba końce łuku - $2$ rozwiązania ($x = 0$ i $x = \pi$).

Krok 4. Sprawdzenie rachunkiem. Równanie to $\sin x = \frac{m + 1}{2}$. W przedziale $\langle 0;\ \pi\rangle$ równanie $\sin x = a$ ma dwa rozwiązania dokładnie wtedy, gdy $0 \le a < 1$ (dla $a = 0$: $x = 0$ i $x = \pi$; dla $0 < a < 1$: $x_0$ i $\pi - x_0$). Zatem

$0 \le \frac{m + 1}{2} < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 0 \le m + 1 < 2 \quad\Longleftrightarrow\quad -1 \le m < 1.$

Odpowiedź. $m \in \langle -1;\ 1)$.

Pułapka: odpowiedź $(-1;\ 1)$ pomija przypadek $m = -1$. Wtedy $\sin x = 0$, a przedział $\langle 0;\ \pi\rangle$ jest domknięty - oba końce $0$ i $\pi$ są rozwiązaniami. W przedziale otwartym $(0;\ \pi)$ odpowiedź byłaby inna: $m \in (-1;\ 1)$.