Przypadki szczególne: sin x = −1, cos 2x = 1, 3sin x = 4, cos(x − π/4) = 0

We wszystkich czterech przypadkach prawa strona jest „szczególna”: $0$, $1$, $-1$ albo liczba spoza $\langle -1;\ 1\rangle$. Ogólne wzory z dwiema seriami też dałyby dobry wynik, ale serie by się pokrywały - prościej od razu skorzystać z przypadków szczególnych.

Krok 1. a) sin x = −1. Na okręgu jednostkowym jest tylko jeden punkt o drugiej współrzędnej $-1$ - najniższy, dla kąta $-\frac{\pi}{2}$ (czyli $\frac{3\pi}{2}$). Wzór ogólny dałby $x_0 = -\frac{\pi}{2}$ i $\pi - x_0 = \frac{3\pi}{2}$ - a to ten sam punkt okręgu. Zostaje jedna seria:

$x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 2. b) cos 2x = 1. Cosinus jest równy $1$ tylko dla argumentów $2k\pi$:

$2x = 2k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Krok 3. c) 3 sin x = 4. $\sin x = \frac{4}{3} > 1$, a sinus nigdy nie przekracza $1$. Równanie jest sprzeczne.

Krok 4. d) cos(x − π/4) = 0. Cosinus zeruje się dla argumentów $\frac{\pi}{2} + k\pi$:

$x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}.$

Odpowiedź. a) $x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$; b) $x = k\pi$; c) brak rozwiązań; d) $x = \frac{3\pi}{4} + k\pi$; wszędzie $k \in \mathbb{Z}$.

Pułapka w d): krok $k\pi$, a nie $2k\pi$. Cosinus ma na okręgu dwa miejsca zerowe ($\frac{\pi}{2}$ i $\frac{3\pi}{2}$), odległe o $\pi$ - zapis z $2k\pi$ zgubiłby połowę rozwiązań.