Funkcja charakterystyczna zbioru

Funkcja charakterystyczna zbioru $Y\subset X$ to funkcja $f: \ X\to \textbf{R}$ określona następująco:

$f(x)=\begin{cases} 1,\ x\in Y,\\ 0,\ x\not\in Y.\end{cases}$

Funkcję charakterystyczną oznacza się też $\chi_{Y}$ lub 1_Y. Funkcje charakterystyczne są często stosowane w teorii miary i całki Lebesgue’a. Przykładem funkcji charakterystycznej jest funkcja Dirichleta.

Funkcja Dirichleta.

Funkcja Dirichleta to funkcja określona następująco:

$f(x)=\begin{cases} 1, dla\ x\ wymiernych,\\ 0, dla\ x\ niewymiernych.\end{cases}$

Funkcję Dirichleta oznacza się często przez $\chi_{Q}$, jest to funkcja charakterystyczna zbioru liczb wymiernych. Funkcja Dirichleta ma wiele interesujących własności: jest nieciągła w dowolnym punkcie swojej dziedziny, jest okresowa, jej okresami są wszystkie liczby wymierne dodatnie, nie ma okresu zasadniczego, na żadnym przedziale nie jest całkowalna w sensie Riemanna, natomiast na dowolnym podzbiorze $A\subset R$ mierzalnym w sensie Lebesgue’a, jest całkowalna w sensie Lebesgue’a i ta całka wynosi zero.