Wartość największa i najmniejsza funkcji f(x) = 2sin x + cos 2x w przedziale ⟨0; π⟩

Funkcja jest ciągła na przedziale domkniętym, więc wartości skrajne przyjmuje w punktach, w których pochodna jest zerem, albo na końcach przedziału.

Krok 1. Pochodna. $f'(x) = 2\cos x - 2\sin 2x$. Zamieniamy sinus podwojonego kąta$\sin 2x = 2\sin x\cos x$ i wyłączamy wspólny czynnik:

$f'(x) = 2\cos x - 4\sin x\cos x = 2\cos x\,(1 - 2\sin x).$

Krok 2. Punkty krytyczne. Iloczyn jest zerem, gdy któryś czynnik jest zerem:

• $\cos x = 0$: w $\left\langle 0;\ \pi \right\rangle$ to $x = \frac{\pi}{2}$;
• $1 - 2\sin x = 0$, czyli $\sin x = \frac{1}{2}$: $x = \frac{\pi}{6}$ lub $x = \frac{5\pi}{6}$.

Nie dzielimy przez $\cos x$ - zgubilibyśmy punkt $\frac{\pi}{2}$.

Krok 3. Wartości. Liczymy $f$ w punktach krytycznych i na końcach (pamiętając, że $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$):

Na przykład $f\left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos\frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ oraz $f\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 + \cos\pi = 1$.

Odpowiedź. Wartość największa $\frac{3}{2}$ (dla $x = \frac{\pi}{6}$ i $x = \frac{5\pi}{6}$), wartość najmniejsza $1$ (dla $x = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ i $x = \pi$).

Inna droga. Z $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ funkcja to $f = -2t^2 + 2t + 1$ dla $t = \sin x \in \left\langle 0;\ 1 \right\rangle$ - parabola z wierzchołkiem w $t = \frac{1}{2}$ (wartość $\frac{3}{2}$) i wartością $1$ na obu końcach $t = 0$, $t = 1$.