Monotoniczność i ekstrema funkcji f(x) = sin x + cos x w przedziale ⟨0; 2π⟩

Krok 1. Pochodna. $f'(x) = \cos x - \sin x$.

Krok 2. Miejsca zerowe pochodnej. $\cos x - \sin x = 0 \iff \sin x = \cos x$. Gdy $\cos x = 0$, to $\sin x = \pm 1 \neq 0$, więc takie $x$ nie spełniają równania i możemy podzielić przez $\cos x$:

$\operatorname{tg} x = 1 \iff x = \frac{\pi}{4} + k\pi.$

W przedziale $\left\langle 0;\ 2\pi \right\rangle$: $x = \frac{\pi}{4}$ i $x = \frac{5\pi}{4}$.

Krok 3. Znak pochodnej. $\cos x - \sin x = \sqrt{2}\cos\left( x + \frac{\pi}{4} \right)$, więc $f'(x) > 0$ dla $x + \frac{\pi}{4}$ w I lub IV ćwiartce. Prościej - sprawdzamy po jednym punkcie w każdym kawałku:

• $x = 0$: $f'(0) = 1 > 0$;
• $x = \pi$: $f'(\pi) = -1 < 0$;
• $x = \frac{3\pi}{2}$: $f'\left( \frac{3\pi}{2} \right) = 0 - (-1) = 1 > 0$.

Pochodna jest więc dodatnia na $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{4} \right)$ i $\left( \frac{5\pi}{4};\ 2\pi \right\rangle$, ujemna na $\left( \frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4} \right)$.

Krok 4. Ekstrema. W $\frac{\pi}{4}$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$ - maksimum; w $\frac{5\pi}{4}$ z $-$ na $+$ - minimum:

$f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}, \qquad f\left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}.$

Odpowiedź. $f$ rośnie w $\left\langle 0;\ \frac{\pi}{4} \right\rangle$ i w $\left\langle \frac{5\pi}{4};\ 2\pi \right\rangle$, maleje w $\left\langle \frac{\pi}{4};\ \frac{5\pi}{4} \right\rangle$; maksimum $f\left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$, minimum $f\left( \frac{5\pi}{4} \right) = -\sqrt{2}$.