Pochodne funkcji 3sin x − 2cos x + 5x, x² cos x, tg x − ctg x i sin x / x

Krok 1. a) Wzory podstawowe. Pochodna sumy to suma pochodnych, a stałe wyłączamy przed pochodną:

$f'(x) = 3\cos x - 2 \cdot (-\sin x) + 5 = 3\cos x + 2\sin x + 5.$

Uwaga na znak: $(\cos x)' = -\sin x$, więc $-2\cos x$ daje $+2\sin x$.

Krok 2. b) Pochodna iloczynu. $(uv)' = u'v + uv'$ dla $u = x^2$, $v = \cos x$:

$g'(x) = 2x \cos x + x^2 \cdot (-\sin x) = 2x\cos x - x^2 \sin x.$

Krok 3. c) Tangens i cotangens. Z gotowych wzorów, dla $x \neq k \cdot \frac{\pi}{2}$:

$h'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - \left( -\frac{1}{\sin^2 x} \right) = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x}.$

Sprowadzając do wspólnego mianownika i korzystając z jedynki oraz $2\sin x\cos x = \sin 2x$:

$h'(x) = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x} = \frac{4}{\sin^2 2x}.$

Krok 4. d) Pochodna ilorazu. $\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$k'(x) = \frac{\cos x \cdot x - \sin x \cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}.$

Odpowiedź. a) $f'(x) = 3\cos x + 2\sin x + 5$; b) $g'(x) = 2x\cos x - x^2\sin x$; c) $h'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{1}{\sin^2 x} = \frac{4}{\sin^2 2x}$; d) $k'(x) = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$.