Pochodne funkcji złożonych: sin 5x, cos² x, sin(x² + 1), tg(3x − 1), sin³ x

Pochodna funkcji złożonej: $\big( f(g(x)) \big)' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ - pochodna funkcji zewnętrznej (liczona w punkcie $g(x)$) razy pochodna funkcji wewnętrznej.

Krok 1. a) Zewnętrzna: sinus, wewnętrzna: $5x$ o pochodnej $5$:

$f'(x) = \cos 5x \cdot 5 = 5\cos 5x.$

Krok 2. b) Zapis $\cos^2 x$ oznacza $(\cos x)^2$. Zewnętrzna: kwadrat, wewnętrzna: cosinus:

$g'(x) = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x\cos x = -\sin 2x.$

Krok 3. c) Zewnętrzna: sinus, wewnętrzna: $x^2 + 1$ o pochodnej $2x$:

$h'(x) = \cos(x^2 + 1) \cdot 2x = 2x\cos(x^2 + 1).$

Krok 4. d) Zewnętrzna: tangens o pochodnej $\frac{1}{\cos^2}$, wewnętrzna: $3x - 1$ o pochodnej $3$:

$k'(x) = \frac{3}{\cos^2(3x - 1)} \qquad \text{dla } \cos(3x - 1) \neq 0.$

Krok 5. e) Zewnętrzna: sześcian, wewnętrzna: sinus:

$m'(x) = 3\sin^2 x \cdot \cos x.$

Typowy błąd w b) i e) to pominięcie pochodnej funkcji wewnętrznej - np. $(\cos^2 x)' = 2\cos x$ bez czynnika $-\sin x$.

Odpowiedź. a) $5\cos 5x$; b) $-\sin 2x$; c) $2x\cos(x^2 + 1)$; d) $\frac{3}{\cos^2(3x - 1)}$; e) $3\sin^2 x\cos x$.